1.一个与自然数n有关的命题当n=2时成立,且由n=k时成立可以推得n=k+2时也成立,则(  )

A.该命题对于n＞2的自然数n都成立

B.该命题对于所有的正偶数都成立

C.该命题何时成立与k取什么值有关

D.以上答案都不对

答案B

2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为(n-3)条时,第一步应验证n等于(    )

A.0                B.1                 C.2                  D.3

答案 D

3.某个命题与正整数n有关,若n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得n=k+1时,该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得(    )

A.当n=6时该命题不成立                        B.当n=6时该命题成立

C.当n=4时该命题不成立                        D.当n=4时该命题成立

分析 本题借助数学归纳法考查四种命题间的关系,即原命题与其逆否命题等价,逆命题与否命题等价.

解 ∵n=k时命题成立n=k+1时命题成立,

其逆否命题是“n=k+1时命题不成立n=k时命题不成立”,

∴n=5时命题不成立n=4时命题不成立.

答案 C

4.用数学归纳法证明“1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1(n∈N*)”的过程中,第二步假设n=k时等式成立,则n=k+1时应得到(    )

A.1+2+2²+…+2^k-1=2^k+1-1

B.1+2+2²+…+2^k+2^k+1=2^k-1+2^k+1

C.1+2+2²+…+2^k-1+2^k+1=2^k+1-1

D.1+2+2²+…+2^k-1+2^k=2^k-1+2^k

答案 D

5.设凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+(    )

A.2π               B.π                  C.                    D.

解析 因为增加一条边,凸多边形的内角和将增加一个三角形的内角和,所以凸多边形的内角和将增加π.

答案 B

6.对于不等式＜n+1(n∈N*),某同学的证明过程如下:

(1)当n=1时, ＜1+1,不等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即＜k+1,则当n=k+1时, ＜,

∴当n=k+1时,不等式成立.

上述证法(    )

A.过程全部正确

B.n=1验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从n=k到n=k+1的推理不正确

解析 用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设.

答案 D

7.下列代数式能被9整除(其中k∈N*)的是 (    )

A.6+6?7^k               B.2+7^k-1              C.2(2+7^k+1)             D.3(2+7^k)

分析 本题考查用数学归纳法证明整除性问题.

解 (1)当k=1时,显然只有3(2+7^k)能被9整除.

(2)假设当k=n时,命题成立,即3(2+7ⁿ)能被9整除,那么3(2+7ⁿ⁺¹)=21(2+7ⁿ)-36.

这就是说,k=n+1时命题也成立.

由(1)、(2)可知,命题3(2+7^k)对任何k∈N*都成立.

答案 D

8.设f(n)=,n∈N*,那么f(n+1)-f(n)等于(    )

A.                         B.

C.+                 D.-

分析 用数学归纳法证明有关问题时,分清等式两边的构成情况是解题的关键.显然,当自变量取n时,等式的左边是n项和的形式.

解答案 D

9.使得多项式81x⁴+108x³+54x²+12x+1能被5整除的最小自然数x为(    )

A.1                 B.2                  C.3                     D.4

分析 本题逆用二项式定理的展开式证明整除性问题.

解 ∵81x⁴+108x³+54x²+12x+1=(3x+1)⁴,

∴该式能被5整除的最小自然数x为3.

答案 C

10.★用数学归纳法证明不等式1+++…+＞成立,则n取的第一个值应为(   )

A.7                 B.8                 C.9                  D.10

分析 本题考查用数学归纳法证明不等式.

解 ∵1+++…+是首项为1,公比为的等比数列前n项的和,

∴1+++…+=1--=2-.

由2-＞,知＜,n最小取8.

答案 B

第Ⅱ卷(非选择题共60分)

11.用数学归纳法证明“1+a+a²+…+aⁿ⁺¹=(a≠1且n∈N*)”,在验证n=1时,左边计算所得的结果是.

解析 本题考查数学归纳法的应用.用数学归纳法证题的前提是分清等式两边的构成情况.就本题而言,它的左边是按a的升幂排列的,共有(n+2)项,故当n取第一个值时,共有1+2=3项,它们的和应是1+a+a².

答案 1+a+a²

12.用数学归纳法证明n∈N*时,3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹被14整除的过程中,当n=k+1时,对3^4(k+1)+2+5^2(k+1)+1可变形为          .

分析 用数学归纳法证明整除性问题时,可把n=k+1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式,另一部分能被除式整除的形式.

解3^4(k+1)+2+5^2(k+1)+1=3^4k+6+5^2k+3=3^4k+6+3⁴?5^2k+1+5^2k+3-3⁴?5^2k+1=3⁴(3^4k+2+5^2k+1)-56?5^2k+1.

答案 81(3^4k+2+5^2k+1)-56?5^2k+1

13.★在用数学归纳法证明1+2+2²+…+2^5n-1(n∈N*)是31的倍数的命题时,从k到k+1需要添加的项是            .

分析 分清被除数的构成情况是解决本题的关键.当自变量取n时,被除数是5n项的和,其指数从0依次增加到5n-1.

解 当n=k+1时,被除数为1+2+2²+…+2^5k-1+2^5k+2^5k+1+…+2^5k+4,

从n=k到n=k+1增加的项为2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4.

答案 2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4

14.观察下列式子:1+＜,1++＜,1+++＜,…,则可以猜想其结论为             .

解析 解答本类题的关键是分清所给式子的结构特点,确定出不等式右边的项中分子、分母同项数的关系.

答案 1+++…+＜(n≥2)

15(本小题满分8分)用数学归纳法证明2²+4²+6²+…+(2n)²=n(n+1)(2n+1).

分析 用数学归纳法证明代数恒等式的关键是分清等式两边的构成情况,合理运用归纳假设.

证明 (1)当n=1时,左边=2²=4,右边=×1×2×3=4,

∴左边=右边,即n=1时,命题成立.       1分

(2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即

2²+4²+6²+…+(2k)²=k(k+1)(2k+1),      2分

那么当n=k+1时,

2²+4²+…+(2k)²+(2k+2)²=k(k+1)(2k+1)+4(k+1)²    3分

=(k+1)［k(2k+1)+6(k+1)］

=(k+1)(2k²+7k+6)

=(k+1)(k+2)(2k+3)

=(k+1)［(k+1)+1］［2(k+1)+1］,    6分

即n=k+1时,命题成立.              7分

由(1)、(2)可知,命题对所有n∈N*都成立.     8分

16.(本小题满分8分)求证:aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1能被a²+a-1整除(n∈N*).

分析 数学归纳法可以证明与正整数n有关的命题,常见的恒等式、不等式的命题可用数学归纳法证明,其他的如整除、几何方面的命题也可用数学归纳法证明.在证明n=k+1时,“配凑”的技巧掌握很重要,要有目的去“配凑”倍数式子,以及假设n=k时的式子.

证明 (1)当n=1时,a²+(a+1)=a²+a+1可被a²+a+1整除;

(2)假设n=k(k∈N*)时,

a^k+1+(a+1)^2k-1能被a²+a+1整除,     2分

则当n=k+1时,

a^k+2+(a+1)^2k+1

=a?a^k+1+(a+1)²(a+1)^2k-1

=a?a^k+1+a?(a+1)^2k-1+(a²+a+1)(a+1)^2k-1         5分

=a［a^k+1+(a+1)^2k-1］+(a²+a+1)(a+1)^2k-1,

由假设可知a［a^k+1+(a+1)^2k-1］能被a²+a+1整除.

∴a^k+2+(a+1)^2k+1也能被a²+a+1整除,       7分

即n=k+1时命题也成立.

∴对n∈N*原命题成立.                 8分

17.★(本小题满分8分)已知数列,,,…,,…,计算S₁,S₂,S₃,S₄,根据计算结果,猜想S_n的表达式,并用数学归纳法进行证明.

分析 本题考查观察、分析、归纳、发现规律的能力,考查数学归纳法在等式证明中的应用.在用观察法求数列的通项公式时,要注意观察项与项数的关系.

解 S₁==;

S₂=+=;

S₃=+=;

S₄=+=.

可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.于是可以猜想.                    2分

下面我们用数学归纳法证明这个猜想.

(1)当n=1时,左边=S₁=,

右边===,

猜想成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即

+++…+=,     4分

那么, +++…++

6分

所以,当n=k+1时猜想也成立.

根据(1)、(2),可知猜想对任何n∈N*都成立.        8分

18.(本小题满分10分)用数学归纳法证明1+≤1+++…+≤+n(n∈N*).

分析 本题考查利用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.合理运用归纳假设后,向目标靠拢的过程中,可以利用证明不等式的一切方法去证明.

证明 (1)当n=1时,左式=1+,

右式=+1,∴≤1+≤,命题成立.　　　　2分

(2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即

1+≤1+++…+≤+k,　　　　4分

则当n=k+1时,

1+++…++++…+＞1++2^k?=1+.　　　6分

又1+++…++++…+＜+k+2k?=+(k+1),　　8分

即n=k+1时,命题成立.

由(1)、(2)可知,命题对所有n∈N*都成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

19.★(本小题满分10分)杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家.他的数学著作颇多,他编著的数学书共5种21卷,在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法.他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律.古今中外,许多数学家如贾宪、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过,并将研究结果应用于其他工作.下图是一个11阶的杨辉三角:

11阶杨辉三角

试回答:(其中第(1)~(5)小题只需直接给出最后的结果,无需求解过程)

(1)记第i(i∈N*)行中从左到右的第j(j∈N*)个数为a_ij,则数列{a_ij}的通项公式为          ,

n阶杨辉三角中共有           个数;

(2)第k行各数的和是;

(3)n阶杨辉三角的所有数的和是;

(4)将第n行的所有数按从左到右的顺序合并在一起得到的多位数等于;

(5)第p(p∈N*,且p≥2)行除去两端的数字1以外的所有数都能被p整除,则整数p一定为(   )

A.奇数                B.质数              C.非偶数                D.合数

(6)在第3斜列中,前5个数依次为1、3、6、10、15;第4斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般地有这样的结论:

第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.

试用含有m、k(m、k∈N*)的数学公式表示上述结论并证明其正确性.

数学公式为                   .

证明:                        .

解 (1)a_ij=    (2)2^k   (3)2ⁿ⁺¹-1   (4)11ⁿ    (5)B        5分

(6)

10分