2009届高三4月份模拟考试试题
文科数学
命题责任人：李海清 校对责任人：贺建山
说明：①本次考试共3大题，分客观题和主观题，共150分，考试时间为120分钟；
②请考生将所有答案填写在答题卡规定位置，答在本卷本上的答案一律无效。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意要求的）
1．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．{
或
}
D．{
或}
2．将抛物线
按向量
平移，使顶点与原点重合，则向量的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D． 
3．曲线
在点（2，8）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A．1
B．
4．已知
为平面，命题p：若
，则
；命题q：若
上不共线的三点到
的距离相等，则
．对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）
A．命题“p且q”为真 B．命题“p或
”为假
C．命题“p或q”为假
D．命题“
”且“”为假
5．函数
和
的定义域相同，
，则“与在区间
上均为增函数”是“
在区间上为增函数”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．设
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．[1，3]
C．（3，
） D．
7．设集合
，若
是
的子集，把中的所有数的和称为的容量（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，则
的奇子集的个数为（ ）
A．10
B．
8．如图是一个由三根细棒PA、PB、PC组成的支架，三根细棒PA、PB、PC两两所成的角都为
，一个半径为1的小球放在支架上，则球心O到点P的距离是（ ）
A．
B．
D． 
二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分）
9．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 .
10．从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取三个元素分别作为直线
中的A、B、C，所得直线为经过坐标原点的直线的概率是
.
11．已知
展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为
.
12．若双曲线
的左焦点在抛物线
的准线上，则
；
且双曲线的离心率
.
13．设点
是函数
与函数
的图象的一个交点，则
.
14．已知函数
，等差数列
的公差为2，若
，则
=
.
15．函数
称为高斯函数（又称取整函数），其中
表示不超过
的最大整数，如
，
，定义函数
，则
的值域是 ；若数列的通项公式为
，则
（用
表示）
三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答时应写出简要的文字说明、证明、或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
在
中，角A、B、C的对边分别为
、
、
，且满足
.
（1）求角B的大小；
（2）设
，
，且
的最大值是5，求的值.
17．（本小题满分12分）
某超市“五一节”期间举办“购物摇奖100％中奖”活动，凡消费者在该超市购物满20元，可享受一次摇奖机会；购物满40元，可享受两次摇奖机会，依此类推。下图是摇奖机的结构示意图，摇奖机的旋转圆盘是均匀的，扇形A、B、C、D所对应的圆心角的比值是1?2?3?4，相应区域的奖金分别为4元、3元、2元、1元，摇奖时，转动圆盘，待停止后，固定指针指向哪个区域（指针落在边界线上时重摇）即可获得相应的奖金。
（1）求摇奖两次，均获胜4元奖金的概率；
（2）某消费者购物刚好满40元，求摇奖后所获奖金超过4元的概率.
18．（本小题满分12分）
已知四棱锥P―ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE.
（1）求异面直线PA与CD所成角的大小；
（2）求证：BE⊥平面PCD；
（3）求二面角A―PD―B的大小.
19．（本小题满分13分）
已知数列是等差数列，设
，且
（1）求数列的通项公式
；
（2）求证：对于
，有
20．（本小题满分13分）
已知动点P到定直线
的距离与到定点F
的距离的差为1.
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若O为原点，A、B是动点P的轨迹上的两点，且
的面积
S△AOB＝m ? tan∠AOB，试求
的最小值；
（3）求证：在（2）的条件下，直线AB恒过一定点. 并求出此定点的坐标.
21．（本小题满分13分）
对于三次函数
，定义：设
是函数
的导函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数的“拐点”.
已知
是函数
（，
）的一个极值点.
（1）求，
的关系式；
（2）求函数的单调区间（用表示）；
（3）当
时，函数的图象是否关于“拐点”成中心对称？若是，写出它的对称中心；若不是，请说明理由. 据此，请你对任意的三次函数提出一个与 “拐点” 相关的猜想.
2009届高三4月份模拟考试试题答案
文科数学
二、填空题答案9. 20； 10. 
； 11. 
；
12. 4、
；
13.
2； 14. 
； 15. 
、
三．解答题答案
∴
∵
，∴
时，
∴取最大值
，由
，得
……………………12分
17．设摇奖一次，获得4元、3元、2元、1元奖金的事件分别
记为A、B、C、D，摇奖的概率大小与扇形区域A、B、C、D
所对应的圆心角的大小成正比，
∵P（A）=
，P（B）=
，P（C）=
，P（D）=
。
（1）摇奖两次，均获得4元奖金的概率为
…………5分
（2）购物刚好满40元，可获两次摇奖机会，奖金不超过4元，
设奖金为2元、3元、4元的事件分别为
，
、
，则
，
，
。且，、为互斥事件，
∴摇奖两次，奖金不超过4元的概率为
……………………10分
∴摇奖两次，奖金超过4元的概率为
……………………12分
18．（1）取BC的中点F，连AF、PF，∵AD∥BC，
且AD=FC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥DC，
从而∠PAF为所求异面直线PA与CD所成的角，
在
中，易知PA=AF=PF=，
∴∠PAF=。……………………………………………4分
（2）连BD，在
中，由BD=，PD=，
∵DE=2PE，∴PE=
，从而
，
∴
∽
，∴BE⊥BD。
∵CD=BD=，BC=2，∴DC⊥BD，
又PB⊥平面ABCD，∴PB⊥CD，
从而CD⊥平面PBD，BE
平面PBD，∴ CD⊥BE。
∴BE⊥平面PCD。………………………………………………………………8分
（3）设AF
BD=O，则AO⊥BD，
∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD
∴AO⊥平面PBD，过O作OH⊥PD于H，连AH，
由三垂线定理知∠AHO为二面角A―PD―B的平面角。
由（2）及O为BD的中点，知H为DE的中点，
∵
∴
又
，
∴
，
∴
。………………………………12分
19．（1）令
，则
，
依题意知
，∴
，
又是等差数列，∴的公差
∴
……………………………………………………………5分
（2）
…………①
…………②
②―①得
……………………………………10分
又设
由
∴函数
为递增函数，∴
∴
……………………………………………………13分
20．（1）依题意知动点P到定点F的距离与到定直线
的距离相等，
由抛物线的定义可知动点P的轨迹方程是
………………………………4分
（2）设
∵
，又
∴
=
∴
∴
，此时
………………………………………9分
（3）∵当
时，直线AB的方程为
即
∵
∴直线AB的方程为
即直线AB恒过定点（2，0）……………………………………………13分
21．（1）
∵是函数的一个极值点，
∴
，即
∴
……………………………………………3分
（2）由（1）知
∵
，∴
1
0
0
递减
极小值
递增
极大值
递减
∴函数在，上单调递减；
在上单调递增。 ……………………………………………7分
（3）当时，
，∴
∴
，
令，得
∴函数的“拐点”的坐标为P
由
∴函数的图象关于“拐点”P成中心对称。……11分
一般地，三次函数的“拐点”是（
）
它就是的对称中心。（或者：任何三次函数都有“拐点”； 任何三次函数的图象都关于“拐点”成中心对称；……）
……………………………………………13分
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