高考数学第一轮复习---函数最值的应用——青夏教育精英家教网——

高考数学第一轮复习---函数最值的应用

一、最值综合与应用问题：

1．最值综合问题：这是中学数学最重要的题型之一，题型非常广泛.

①几何图形的最值问题：在平几、立几、解几图形中求解面积、体积、距离及各种几何量的最大、最小值；

②代数中的最值问题：求解方程（或不等式）的最大、最小解，数列的最大、最小项，变量或代数式的最大、最小取值，等等；

2．最值应用问题：这是应用问题中最典型的内容，如求解利润、费用的最大与最小，用料，时间最少，流量、销量最大，选取的方法最多、最少等，都是常见的应用问题。

（二）学习要点：

在中学数学范围内，最值综合与应用问题几乎都要运用函数的思想与方法解决，解答程序是：

①正确选择变量作自变量，根据问题的条件将问题转化为函数，建立函数的解析式，并求函数的（实际型）定义域；

②求函数的极值，并结合函数的定义域得到函数的最值；

【例1】如图，扇形AOB的半径为1，

中心角为45°，矩形EFGH内接于扇形，

求矩形对角线长的最小值.

[解析]这是一道高考题，需要用函数思想解决它，

但是取什么量作自变量是解决这个问题的关键，应

反复斟酌. 根据这个问题的图形特点，取

将对角线长表示成这个角的函数是比较好的想法.

所以，当时，

[解法二]设矩形的高

∴矩形的宽

∴对角线

令

令

在的左、右两侧取定义域内两点，如取

得

∴的值在处左负右正，

.

[评析]该问题的难点是正确选择自变量,上面两种解法各有优缺点,解法一虽然简单些,但选择”角”作自变量有时会涉及到过多的三角知识,在许多情况下会出现困难的运算,应慎重;解法二选择矩形的边长为自变量的想法要常规一些.

【例2】已知正四棱锥边长为3，求它的体积的最大值.

[解析]设底面边长为，

且左正右负，∴当.

(初等方法)

等号成立时,

[评析]立体几何中的最值综合问题是高中数学中的一种重要题型,在立几的复习中将会作更多的讨论.

【例3】设是定义在上以2为周期的周期函数,且为偶函数,已知在区间[2,3]上=－2(－3)²+4,

（Ⅰ）求时的解析式；

（Ⅱ）若矩形ABCD的两个顶点A、B在轴上，另两个顶点C、D在函数的图象上，求这个矩形面积的最大值.

（Ⅱ）设则，

当

设

∴矩形ABCD面积

令

且左正右负，

[评析]这是代数与几何的综合型的最值问题，由于这种问题能综合考核较多的数学能力，因此这是常见的试题形式，在该问题中求的值域时，换元这一步是很重要的想法，这样大大降低了运算量.

【例4】一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有的面积，问应如何设计十字型宽及长，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.

由条件知:即

设外接圆的半径为R，即求R的最小值，

等号成立时，

∴当时R²最小，即R最小，从而周长最小，

此时

[评析]这是最值的应用问题，在函数型的应用问题中，最值应用问题占了很大的比例，也是紧常见的应用题的试题形式，应多加强这方面的训练.

（一）知识归纳：

二、最值在参数讨论中的应用

1．“恒成立”问题：“设函数的定义域为区间D，

①若对恒成立

②若对恒成立

2．“存在”问题：设函数的定义域为区间D，

①若存在，使得

②若存在，使得

（二）学习要点：

1．“恒成立”与“存在”是参数讨论中的两类非常重要的问题，而通过求函数的最值是解决这两类问题的重要方法，在具体解决问题时又有两条基本思路：

①将“参数”与“变量”分离在不等号的两边，然后变量形成的函数的最值；

②“参数”与“变量”不分离，将整个式子看成一个函数，并求它的最值.

2．必须注意，如果在定义区间D上没有最大或最小值，而只有上限或下限，则最后的结果可能要将“＜（＞）”改为“≤（≥）”.

【例1】不论实数取何值,直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围.

[解析]曲线的公共点为方程组的解,命题最终化归为二次方程的判断式“对恒成立”.

联立

（1）若，显然当时方程无解，命题不成立；

（2）若方程为一元二次方程，

则恒成立，

[评析]这是高考中的一道基础型试题，如果对“恒成立”的概念与方法很熟悉，则问题解答得心应手.

[解析] A≠ 不等式有角,这是“存在”性问题.

≠ 不等内有解，

即存在，使得

设

故命题又等价于

求导得

，且的值在处左正右负，实数的取值范围是

[评析]有关“存在”的参数讨论问题也是参数讨论问题的重要题型，其中有许多与最值有关，这类问题的理解比“恒成立”要困难一些.

【例3】设若，问是否存在使得？说明理由.

[解析] 这是关于“存在”性问题，注意问题中是变量，是参数.

设存在这样的,，

则命题等价于

的对称轴内单调递增，

得，

显然正确，故存在，使得.

[评析]如果从“存在”的思想方法来理解并解答该问题，则解题思路非常清晰，才能写出上面既简洁，又严密的解题过程.

《训练题》

一、选择题：

1．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）

A． B．

C． D．

2．如果存在实数使得不等式|+1|－|－2|成立，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

3．设，如果恒成立，那么（）

A． B． C． D．

4．若时总有则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

5．若关于的不等式内有解，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

6．设数列若的每一项总小于它的后面的项，则的取值范围是

（）

A． B． C． D．

二、填空题：

7．若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是

.

8．若的解集为空集，则实数的取值范围是 .

9．若不等式内有解，则实数的取值范围是 .

10．在一块半径为R的半圆形铁皮中截出一块矩形，矩形的一边在半圆的直径上，则这个矩形的最大面积是 .

三、解答题：

11．求外切于半径为1的球的圆锥的体积最小值.

12．由点P（0，1）引圆的割线与该圆交于A、B两点，求△AOB的面积的最大值（O为原点）及此时割线AB的方程.

13．机动车辆通过大桥，为了安全，同一股道上的两辆车的间距不得小于，其中是车速，是平均车身长度，为比例系数.

已测定：车速为时，安全车距为

问应规定怎样的车速可使同一股道上的车流量最大？（车流量即单位时间内通过的车辆数）.

14．对定义（的单调减函数使得：

恒成立，求的取值范围.

15．已知函数

（Ⅰ）求函数的反函数；

（Ⅱ）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围.

《答案与解析》

一、选择题：

1．A 2．B 3．D 4．D 5．A 6．B

二、填空题：

7．， 8．， 9．，10．R² .

三、

11．如图，设圆锥的高底半径为，

∽PAD，且OE=OD=1，

即

∴圆锥体积

且的值在处左负右正，

12．设AB方程为O到AB的距离

令

求导得单调递减，

13．，

则车流量

当且仅当时等号成立. 当时车流量最大；

14．命题等价于恒成立，

①

②

由①得：③；

由②得：

④；

由③、④得取值范围是

15．（Ⅰ）

（Ⅱ）

（1）若在内为增函数，则即对于恒成立，记

在上为增函数，

（2）若在内为减函数，则对恒成立，

综上，的取值范围是