已知点P（x，y）为曲线y=x+

1

x

上任一点，点A（0，4），则直线AP的斜率k的取值范围是（　　）

已知点P（x，y）为曲线y=x+

1

x

上任一点，点A（0，4），则直线AP的斜率k的取值范围是（　　）

A．[-3，+∞）

B．（3，+∞）

C．[-2，+∞）

D．（1，+∞）

已知曲线C的参数方程为

x=2+cosθ y=1+sinθ

（θ∈[0，π]），且点P（x，y）在曲线C上，则

y+x-1

x

的取值范围是（　　）

如图，已知曲线C：y=

1

x

在点P（1，1）处的切线与x轴交于点Q₁，过点Q₁作x轴的垂线交曲线C于点P₁，曲线C在点P₁处的切线与x轴交于点Q₂，过点Q₂作x轴的垂线交曲线C于点P₂，…，依次得到一系列点P₁、P₂、…、P_n，设点P_n的坐标为（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）求三角形OP_nP_n+1的面积S△OPnPn+1
（Ⅲ）设直线OP_n的斜率为k_n，求数列{nk_n}的前n项和S_n，并证明Sn＜

4

9

．

定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx+b，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx+b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知f（x）=Inx，g（x）=1-

1

x

（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；
（Ⅱ）设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是函数 f（x）图象上任意两点，且0＜x₁＜x₂，若存在实数x₃＞0，使得f′（x₃）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

．请结合（I）中的结论证明x₁＜x₃＜x₂．

定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx+b，使得对公共定义域内的任意实数均满足f（x）≤g（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx+b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知f（x）=lnx，g（x）=1-

1

x

．
（1）试探求f（x）与g（x）是否存在“左同旁切线”，若存在，请求出左同旁切线方程；若不存在，请说明理由．
（2）设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是函数f（x）图象上任意两点，0＜x₁＜x₂，且存在实数x₃＞0，使得f（x₃）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，证明：x₁＜x₃＜x₂．

A．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
B．已知矩阵A=

.

1 -2 3 -7

.

．
（1）求逆矩阵A^-1；
（2）若矩阵X满足AX=

3 1

，试求矩阵X．
C．坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C₁：ρcos（θ+

π

4

）=2

2

与曲线C₂：

x=4t2 y=4t

，（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均为正数，求证：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

（2011•福建模拟）给出以下四个结论：
（1）若关于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈（0，1）没有实数根，则k的取值范围是k≥2
（2）曲线y=1+

4-x2

(|x|≤2)与直线y=k（x-2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是(

5

12

，

3

4

]
（3）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0两侧，则3b-2a＞1；
（4）若将函数f(x)=sin(2x-

π

3

)的图象向右平移?（?＞0）个单位后变为偶函数，则?的最小值是

π

12

，其中正确的结论是：．

已知函数f(x)=

ax+1

x+2

，其中a∈R
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间（-2，+∞）为增函数，求a的取值范围．