Question

已知曲线C的参数方程为

x=2+cosθ y=1+sinθ

（θ∈[0，π]），且点P（x，y）在曲线C上，则

y+x-1

x

的取值范围是（　　）

• A．[0，

  3

  3

  ]
• B．[1，1+

  3

  2

  ]
• C．[1，

  4

  3

  ]
• D．[1，

  3+ 3

  3

  ]

Answer 1

分析：由题意得曲线C是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子

y+x-1

x

=1+

y-1

x

，

y-1

x

的形式可以联想成在单位圆上动点P与点C（0，1）构成的直线的斜率，进而求解．

解答：解：∵

x=2+cosθ y=1+sinθ

即

x-2=cosθ y-1=sinθ

∴（x-2）²+（y-1）²=1，其中y∈[1，2]
由题意作出如下图形，

y+x-1

x

=1+

y-1

x

，
令k=

y-1

x

，则k可看作圆（x-2）²+y²=1上的动点P到点C（0，1）的连线的斜率而相切时的斜率，
由于此时直线与圆相切，
在直角三角形ACB中，∠ACB=30°，⇒k=

3

3

由图形知，k的取值范围是[0，

3

3

]．
则

y+x-1

x

的取值范围是[1，1+

3

3

]．
故选B．

点评：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．