题目内容

如图,已知曲线C:y=
1
x
在点P(1,1)处的切线与x轴交于点Q1,过点Q1作x轴的垂线交曲线C于点P1,曲线C在点P1处的切线与x轴交于点Q2,过点Q2作x轴的垂线交曲线C于点P2,…,依次得到一系列点P1、P2、…、Pn,设点Pn的坐标为(xn,yn)(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;
(Ⅱ)求三角形OPnPn+1的面积S△OPnPn+1
(Ⅲ)设直线OPn的斜率为kn,求数列{nkn}的前n项和Sn,并证明Sn
4
9
分析:(Ⅰ)通过求导即可得到切线的斜率,进而得到切线的方程,即可得到xn+1与xn的关系,利用等比数列的通项公式即可求出.
(Ⅱ)利用三角形的面积公式、梯形的面积公式及(Ⅰ)的结论即可得出;
(Ⅲ)利用(Ⅰ)的结论即可求出nkn,再利用“错位相减法”即可求出Sn,进而证明结论.
解答:解:(Ⅰ)∵y=-
1
x2
,∴f(1)=-1,
∴曲线C:y=
1
x
在点P(1,1)处的切线为y-1=-(x-1),
令y=0,则x=2,∴Q1(2,0),∴P1(2,
1
2
)
,∴x1=2.
则过点Pn(xn
1
xn
)
的切线斜率为-
1
x
2
n
,其方程为y-
1
xn
=-
1
x
2
n
(x-xn)

令y=0,得到x=2xn,∴Qn+1(2xn,0),即xn+1=2xn,∴
xn+1
xn
=2

∴数列{xn}是以2为首项,2为公比的等比数列,
xn=2×2n-1=2n
(Ⅱ)∵S△OPnPn+1=S△OPnQn+S梯形PnPn+1Qn+1Qn-S△OPn+1Qn+1
=
1
2
xnyn+
yn+yn+1
2
(xn+1-xn)
-
1
2
xn+1yn+1

=
1
2
(
1
xn
+
1
xn+1
)(xn+1-xn)
=
1
2
(
1
2n
+
1
2n+1
)(2n+1-2n)
=
3
4

(Ⅲ)证明:由(1)可知:kn=
yn
xn
=
1
x
2
n
=
1
(2n)2
=
1
4n
,∴nkn=
n
4n

∴Sn=
1
41
+
2
42
+
3
43
+
…+
n-1
4n-1
+
n
4n

4Sn=1+
2
41
+
3
42
+…+
n
4n-1

两式相减得3Sn═1+
1
4
+
1
42
+…+
1
4n-1
-
n
4n
=
1-
1
4n
1-
1
4
-
n
4n

∴Sn=
4
9
-
1
4n-1
-
n
4n
4
9

Sn
4
9
成立.
点评:熟练掌握导数的几何意义、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”是解题的关键.
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