题目内容
如图,已知曲线C:y=
在点P(1,1)处的切线与x轴交于点Q1,过点Q1作x轴的垂线交曲线C于点P1,曲线C在点P1处的切线与x轴交于点Q2,过点Q2作x轴的垂线交曲线C于点P2,…,依次得到一系列点P1、P2、…、Pn,设点Pn的坐标为(xn,yn)(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;
(Ⅱ)求三角形OPnPn+1的面积S△OPnPn+1
(Ⅲ)设直线OPn的斜率为kn,求数列{nkn}的前n项和Sn,并证明Sn<
.
1 |
x |
(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;
(Ⅱ)求三角形OPnPn+1的面积S△OPnPn+1
(Ⅲ)设直线OPn的斜率为kn,求数列{nkn}的前n项和Sn,并证明Sn<
4 |
9 |
分析:(Ⅰ)通过求导即可得到切线的斜率,进而得到切线的方程,即可得到xn+1与xn的关系,利用等比数列的通项公式即可求出.
(Ⅱ)利用三角形的面积公式、梯形的面积公式及(Ⅰ)的结论即可得出;
(Ⅲ)利用(Ⅰ)的结论即可求出nkn,再利用“错位相减法”即可求出Sn,进而证明结论.
(Ⅱ)利用三角形的面积公式、梯形的面积公式及(Ⅰ)的结论即可得出;
(Ⅲ)利用(Ⅰ)的结论即可求出nkn,再利用“错位相减法”即可求出Sn,进而证明结论.
解答:解:(Ⅰ)∵y′=-
,∴f′(1)=-1,
∴曲线C:y=
在点P(1,1)处的切线为y-1=-(x-1),
令y=0,则x=2,∴Q1(2,0),∴P1(2,
),∴x1=2.
则过点Pn(xn,
)的切线斜率为-
,其方程为y-
=-
(x-xn),
令y=0,得到x=2xn,∴Qn+1(2xn,0),即xn+1=2xn,∴
=2.
∴数列{xn}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴xn=2×2n-1=2n.
(Ⅱ)∵S△OPnPn+1=S△OPnQn+S梯形PnPn+1Qn+1Qn-S△OPn+1Qn+1
=
xnyn+
(xn+1-xn)-
xn+1yn+1
=
(
+
)(xn+1-xn)=
(
+
)(2n+1-2n)=
.
(Ⅲ)证明:由(1)可知:kn=
=
=
=
,∴nkn=
.
∴Sn=
+
+
+…+
+
,
4Sn=1+
+
+…+
,
两式相减得3Sn═1+
+
+…+
-
=
-
,
∴Sn=
-
-
<
.
故Sn<
成立.
1 |
x2 |
∴曲线C:y=
1 |
x |
令y=0,则x=2,∴Q1(2,0),∴P1(2,
1 |
2 |
则过点Pn(xn,
1 |
xn |
1 | ||
|
1 |
xn |
1 | ||
|
令y=0,得到x=2xn,∴Qn+1(2xn,0),即xn+1=2xn,∴
xn+1 |
xn |
∴数列{xn}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴xn=2×2n-1=2n.
(Ⅱ)∵S△OPnPn+1=S△OPnQn+S梯形PnPn+1Qn+1Qn-S△OPn+1Qn+1
=
1 |
2 |
yn+yn+1 |
2 |
1 |
2 |
=
1 |
2 |
1 |
xn |
1 |
xn+1 |
1 |
2 |
1 |
2n |
1 |
2n+1 |
3 |
4 |
(Ⅲ)证明:由(1)可知:kn=
yn |
xn |
1 | ||
|
1 |
(2n)2 |
1 |
4n |
n |
4n |
∴Sn=
1 |
41 |
2 |
42 |
3 |
43 |
n-1 |
4n-1 |
n |
4n |
4Sn=1+
2 |
41 |
3 |
42 |
n |
4n-1 |
两式相减得3Sn═1+
1 |
4 |
1 |
42 |
1 |
4n-1 |
n |
4n |
1-
| ||
1-
|
n |
4n |
∴Sn=
4 |
9 |
1 |
9×4n-1 |
n |
3×4n |
4 |
9 |
故Sn<
4 |
9 |
点评:熟练掌握导数的几何意义、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”是解题的关键.
练习册系列答案
相关题目