题目内容

定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx+b，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx+b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知f（x）=Inx，g（x）=1-
1
x

（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；
（Ⅱ）设P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是函数 f（x）图象上任意两点，且0＜x1＜x2，若存在实数x3＞0，使得f′（x3）=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
．请结合（I）中的结论证明x1＜x3＜x2．
分析：（I）由题意知f（x）与g（x）在公共点处的切线方程为y=x-1，欲证y=x-1就是左同旁切线方程，即证1-
1
x
≤lnx≤x-1（x＞0），下面通过构造函数利用导数研究其最值即可证出结果；
（II）利用反证法进行证明，令x3≤x1，则x3=
x2-x1
ln
x2
x1
≤x1，从而可得x2-x1≤x1ln
x2
x1
＜x1（
x2
x1
-1）=x2-x1，由此得证．
解答：解：（I）欲证y=x-1就是左同旁切线方程，即证1-
1
x
≤lnx≤x-1（x＞0）．
先构造函数h（x）=lnx-x+1（x＞0），则h'（x）=
1
x
-1=
1-x
x
，
令h'（x）＞0可得0＜x＜1，h'（x）＜0可得x＜0或x＞1，
∴函数在x=1处h（x）取得最大值h（1）=0，所以lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1（x＞0）．（4分）
再构造函数φ（x）=lnx-1+
1
x
（x＞0），则φ′（x）=
x-1
x2
，
令φ'（x）＞0可得x＞1，φ'（x）＜0可得x＜1，
∴在x=1处φ（x）取得最小值φ（1）=0，所以lnx-1+
1
x
≥0，即lnx≥1-
1
x
（x＞0）．
故对任意x∈（0，+∞），恒有1-
1
x
≤lnx≤x-1（x＞0）成立，
即y=x-1就是左同旁切线方程．（6分）
（II）因为f′（x）=
1
x
，所以f′（x3）=
1
x3
=
lnx2-lnx1
x2-x1
=
ln
x2
x1
x2-x1
，所以x3=
x2-x1
ln
x2
x1
．
令x3≤x1，则x3=
x2-x1
ln
x2
x1
≤x1，
∴x2-x1≤x1ln
x2
x1
＜x1（
x2
x1
-1）=x2-x1，
显然自相矛盾，故x1＜x3；同理可证x3＜x2．
故x1＜x3＜x2．（12分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查新定义，考查函数的最值，正确理解新定义是关键．
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1
x
．
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f(x2)-f(x1)
x2-x1
，证明：x1＜x3＜x2．
定义运算已知函数f（x）=x2⊕x，求f（2）=    ．

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    （I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；

    （Ⅱ）设P（是函数 f（x）图象上任意两点，且0<x1<x2，若存在实数x3>0，使得．请结合（I）中的结论证明：

 

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