(一)如果a.b为正数.那么有: .当且仅当a=b时.上式取“= 号. 推论: 1.两个正数的积一定时.两数相等时.其和最小. 2.两个正数的和一定时.两数相等时.其积最大.——青夏教育精英家教网—

(一)如果a，b为正数，那么有：，当且仅当a=b时，上式取“=”号。

推论：

1.两个正数的积一定时，两数相等时，其和最小。

2.两个正数的和一定时，两数相等时，其积最大。

(三)利用配方法求极值

对于二次函数，函数解析式经配方可变为

(1)若a>0时，当时，y有极小值为

(2)若a<0时，当时，y有极大值为

对于例题 1还可用配方法求解。

(二)利用一元二次方程判别式求极值

对于二次函数y = ax²+ bx + c，(a ≠0)可变形为一元二次方程

　ax²+ bx + c - y=0

用判别式法即：

则由不等式可知 y的极值为：

对于例题 1，我们可以转化为二次方程求解。

将可转化为一元二次方程：

要使方程有解，必使判别式

解不等式得：，即最大值为6m

例1.一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E被贮存在这个原子内部。求电子必须具有的最小初动能是多少？分析与解：设电子碰前的速度为υ₁，碰后的速度为，静止的原子被碰后的速度为。　　由动量守恒定律有 (1) 　　由能量守恒有 (2) 　　在以上两个方程中，有三个未知数，υ₁、、，一般的同学认为少一个方程，难以求解。但由(1)式解出代入(2) 　　可得：　　进一步整理可得：(M+m)m-2m²υ₁+(m-M)mυ₁²+2ME=0 　　此式是关于的一元二次方程，因电子碰后的速度必为实数，所以此方程的判别式B²-4AC≥0 即　　 4m⁴-4(M+m)m[(m-M)m+2ME]≥0 　　根据上式整理可得：　　所以电子必须具有的最小的初动能是

例2.如图2-1所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的轨道半径。分析与解：小球在运动时将受重力mg，圆锥面对球的弹力N，及洛仑兹力f的作用，如图2-2所示。设小球作匀速圆周运动的轨道半径为R，速率为υ。

　　由正交分解可得　　联立(1)、(2)试可得　　上式有υ、R两个未知量，似乎不可解，但因为是求极值问题，可用一元二次方程判别式求解。因为υ有实数解，由B²-4AC≥0 　　即　　 ∴小球作圆周运动的最小半径为

例3.在掷铅球的运动中，如果铅球出手时距地面的高度为h，速度为υ₀，求υ₀与水平方向成何角度时，水平射程最远？并求此最大的水平射程X_max。分析与解：以出手点为坐标原点，可分别列出水平方向与竖直方向的位移方程。　　　　上式为关于tgθ的一元二次方程。若tgθ存在实数解，则判别式B²-4AC≥0 　　即　　解出结果后，我们可联系实际进行如下验证。设出手高度h=0, 　　则　　 θ=45°。这就是我们过去曾经知道的一个物体做斜抛运动，当θ=45°时其射程最远。