3. 求证:在区间上,函数的图象总在函数的下方.

例4．设为实数,函数

(1)求的极值;

(2)当为何值时,函数恰好有两个零点?

［剖析］函数的零点就是函数的图象与轴的交点的横坐标.由此可以通过分析函数的单调性和函数的图象特征进行求解.

［解］(1)令，得.又因为时，；

时，；，，所以的极小值为；

的极大值为.

(2)因为在上单调递减，且当时，；又在上单调递减，且当时，；而，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值大于或等于零时，有极小值小于或等于0，此时曲线与轴恰好有两个交点，即函数恰好有两个零点，所以；当极小值等于0时有极大值大于0，此时曲线与曲线与轴也恰好有两个交点，即函数恰好有两个零点，所以。

综上所述知，当时，函数恰好有两个零点。

［警示］研究函数的零点的问题可以转化为研究相应函数图象问题.一般地,函数的零点就是函数的图象与轴的交点的横坐标.方程的根就是函数与图象的交点的横坐标.

［变式训练］

2. (2006年湖北卷)设是函数的一个极值点.

(Ⅰ)求与的关系式(用表示)，并求的单调区间；

(Ⅱ)设，.若存在使得成立，求的取值范围.

例3．将函数的图象按向量平移得到函数的图象,求证:当时,.

［剖析］先求出函数的解析式,然后构造函数借助函数的单调性证明不等式.

［解］将函数的图象按向量平移得到函数.

令,则,

因为,所以,即函数在区间上是单调增函数,于是有,即,因此有当时,.

［警示］利用导数证明不等式也是导数应用的一个重要方面,这类问题一般需要根据欲证的不等式构造一个新函数,然后通过考查这个新函数的单调性,结合给定区间和函数在区间端点的函数值进行证明.

［变式训练］

1. (1)已知为实数，函数．若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围．

　(2) (2005年重庆卷)设函数f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax+8，其中aÎR.若f(x)在(-¥,0)上为增函数，求a的取值范围。

例2．(2005年北京卷) 已知函数

若在区间[－2，2].上的最大值为20.

(1)求实数的值;

(2)是否存在实数,使得对于,总存在,都有成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由.

［剖析］对于第(2)小题,可先由(1)求出函数在[－2，2].上的值域,则问题就转化为:是否存在实数,使在[－2，2].上的值域是函数在区间上的值域的子集,这样利用导数分别求出这两个函数的值域,建立关于的不等式组即可求解.

［解］(1)令,解得或

所以函数的单调递减区间为递增区间是.

又因为,

所以

因为在上,所以在单调递增,

又由于在上单调递减,因此和分别是在区间上的最大值和最小值.于是有,解得

(2)由(1)知因此

即函数在区间上的值域为[,20]

,由于,所以当时,,因此当时,为减函数,从而当时,.

又因为,即当时

若对于,总存在,都有,则应有,即,解得:

但由于,故不存在这样的实数.

［警示］本题属于探索性的题目,其一般的解法思路是先假设符合条件的参数存在,然后综合考虑题目的各个条件,若各个条件之间不矛盾,则参数存在,若条件之间存在矛盾,则参数不存在.如本题的第(2)问,要特别注意的取值范围首先应满足前提条件,如果忽视这一条件,将得出错误的结论.

［变式训练］

6．设有长为a，宽为b的矩形，其底边在半径为R的半圆的直径所在的直线上，另两个顶点正好在半圆的圆周上，则此矩形的周长最大时，=　　　 .

[典例精析]

例1．若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围.

［剖析］函数存大单调区间,就是不等式有实数解,考虑到函数的定义域为,所以本题就是要求在上有实数解.

［解］.因为函数存在单调递减区间,所以有解.又因为函数的定义域为,则应有的解.

(1)当时,为开口向上的抛物线,,总可以找到的解;

(2)当时,为开口向下的抛物线,要使总有大于0的解,则且方程至少有一个正根,此时.

(3)当时,显然符合题意.

综上所述,实数的取值范围是.

［警示］一般地涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题,往往可以借助于导数这一工具进行求解.函数的定义域内存在单调区间,就是不等式或在其定义域内有解,这样就将问题转化为了求解不等式的问题.本题在解答时,很容易忽视函数定义域这一限制条件,即在解答时,只是要求不等式有解,而不是在内有解,从而导致错误.在研究函数的有关性质时,一定要注意优先考虑定义域.

［变式训练］：

5．若f(x)=x³+3ax²+3(a+2)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是_________

4．(2006年天津卷)函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点(　 )

A．1个　 B．2个　　 C．3个　　 D． 4个

3．=0是可导函数y=f(x)在点x=x₀处有极值的 (　　 )

(A)充分不必要条件　 (B)必要不充分条件　

(C)充要条件　　 　　(D)非充分非必要条件

2．设y=x-lnx，则此函数在区间(0,1)内为(　)

　A．单调递增B、有增有减　 C、单调递减　 D、不确定

1．关于的函数的极值点的个数有　　　　　 (　　 )

　　　 A．2个　　　　　 　 B．1个　 　　　　C．0个　　　　　　 D．由确定

4．函数的最大值与最小值

在闭区间上连续，内可导，在闭区间上求最大值与最小值的步骤是：

(1)　　　　　　；(2)　　　　　　　　　　　。

［特别提醒］

导数的应用不要包括以下几个方面:(1)利用导数研究函数的单调性和单调区间;(2)利用导数研究函数极值与最值;(3)利用导数研究曲线的切线问题;(4)利用导数研究不等式的证明问题;(5)利用导数研究函数的零点;(6)利用导数求参数的取值范围等.

在复习的过程中,应注意总结规律,一般来说,利用导数解决的问题,其所涉及的函数往往具有明显的特征,例如:三次函数等高次函数,非常规函数(由基本初等函数构成)等,这些函数尤其适合利用导数解决.再如：①f(x)在某个区间内可导，若f′(x)＞0,则f(x)是增函数；若f′(x)＜0,则f(x)是减函数.②求函数的极值点应先求导，然后令y′=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y=x³,当x=0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.③可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得等等。

　 另外,在复习过程中,要注意等价转化,分类讨论,数形结合等数学思想方法的训练,在解决导数的综合应用题中,这些思想方法始终贯穿于其中,是正确解决问题的关键.

[基础闯关]