16.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
15.过圆:,:交点的圆(相交弦)系方程为.时为两圆相交弦所在直线方程.
14.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为,两圆的半径分别为:两圆相离;
两圆相外切; 两圆相交;
两圆相内切; 两圆内含;两圆同心.
9. 圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。
⑴圆的标准方程:.⑵圆的一般方程:
提醒:只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆(二元二次方程表示圆,且).
⑶圆的参数方程:(为参数),其中圆心为,半径为.圆的参数方程主要应用是三角换元:; .
⑷以、为直径的圆的方程;
10点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点及圆的方程
.
①点在圆外;②点在圆内;
③点在圆上.
11圆上一点的切线方程:点在圆上,则过点的切线方程为:;
过圆上一点切线方程为.
12过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线.
13直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.
①相离 ②相切 ③相交
8.有关对称的一些结论
⑴点关于轴、轴、原点、直线的对称点分别是,,,.
⑵曲线关于下列点和直线对称的曲线方程为:
①点:;②轴:;
③轴:; ④原点:;
⑤直线:; ⑥直线:;
⑦直线:.
7.点到直线的距离公式;
两条平行线与的距离是.
设三角形三顶点,,,则重心;
6.直线系方程:
①过两直线:,:.
交点的直线系方程可设为;
②与直线平行的直线系方程可设为;
③与直线垂直的直线系方程可设为.
5.直线与直线的位置关系:
⑴平行(斜率)且(在轴上截距);
⑵相交;(3)重合且.
4.设直线方程的一些常用技巧:
(1)知直线纵截距,常设其方程为;
(2)知直线横截距,常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线);
(3)知直线过点,当斜率存在时,常设其方程为,当斜率不存在时,则其方程为;
(4)与直线平行的直线可表示为;
(5)与直线垂直的直线可表示为.
提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解
3.直线方程五种形式:
⑴点斜式:已知直线过点斜率为,则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线.⑵斜截式:已知直线在轴上的截距为和斜率,则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线. ⑶两点式:已知直线经过、两点,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线.⑷截距式:已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式:任何直线均可写成(不同时为0)的形式.
提醒:⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢?)
⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为.直线两截距相等直线的斜率为或直线过原点;直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点;直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.
⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为 或直线过 ;直线两截距互为相反数直线的斜率为 或直线过 ;直线两截距绝对值相等直线的斜率为 或直线过 。