10、设P(x,y)是椭圆(a﹥b﹥0)上一点，则过P点的切线方程是：(利用导数求出斜率或利用判别式求斜率)

9、斜率为k的弦的中点轨迹方程：设弦PQ的端点P(x,y),Q(x,y)，中点M(x,y)，把P，Q的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得(椭圆内不含端点的线段)

8、以P(x,y)为中点的弦A(x,y),B(x,y)所在直线的斜率k=－，直线AB的方程为：y-y=- (x-x).　AB的中垂线方程为y-y=(x-x)

7、弦长公式：(1)通径：通过焦点且垂直于长轴的弦长：＝，P，Q为弦与椭圆的交点。以通径为直径的圆和相应的准线相离。

(2)过(a﹥b﹥0)的焦点F(或F)的弦长：＝2a+e(x+x)　(或＝2a-e(x+x)　)，x，x分别P，Q为的横坐标。

(3)一般的弦长公式：x，x分别为弦PQ的横坐标，弦PQ所在直线方程为y=kx+b,代入椭圆方程整理得Ax+Bx+C=0,则＝，若y,y分别为弦PQ的纵坐标，则＝，

6、焦半径公式：P(x,y)为(a﹥b﹥0)上一点， F为左焦点， F为右焦点，P F＝a+ ex,P F= a- ex(左加右减)，以焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆内切。

5、离心率e＝，0﹤e﹤1,e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

3、椭圆焦点三角形：(1)设P为椭圆，上任意一点，F，F为焦点且∠FPF

＝，则△FPF为焦点三角形，当r=r即P为短轴端点时，最大且＝，，(2)它的面积公式为： S＝btan＝c , 当=b时，P为短轴端点时，的最大值为bc。(3)焦点三角形中为锐角三角形的充要条件是，焦点三角形为钝角三角形的必要条件是b＜c。

(4)焦点三角形的周长2a+2c.,当且仅当x=±a时取最小值,当x=0时取最大值。

.4、方程表示椭圆的充要条件是：A＞0，B＞0，A≠B。A＞B时，焦点在y轴上，A＜B时，焦点在x轴上。

2、椭圆的标准方程：焦点在x轴上时： (a﹥b﹥0),焦点F(c，0), 准线方程为x=,-a≤x≤a,-b≤y≤b,

当焦点在y轴上时，标准方程为＝1(a﹥b﹥0),焦点F(0，c)，准线方程为y=,

1、椭圆的定义1： ，F，F为两定点即焦点。定义2：

(二)求曲线方程(求轨迹)的几种常用方法：

1、直接法：直接用动点P(x，y)的坐标表示等量关系，化简得轨迹方程。一般步骤是：①建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；如果题中出现了点的坐标或方程表示已经建立了坐标系。②列出点　 M适合条件的几何等量关系；③用坐标表示列出方程f(x,y)=0，④化方程f(x,y)=0为最简形式；⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。一般情况下，化简前后的方程的解是相同的，步骤⑤可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤②直接列出直线方程。

例1：三角形ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长为2a,边BC上的高线长为b，边BC沿一条定直线移动，求三角形ABC外心的轨迹方程。

分析：以BC边所在的直线为x轴，过A点且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系,则B(0，b)，设外心M(x,y)，则|MA|＝|MB|，B(x-a,0),x-2by+b-a=0

2、　 定义法：通过圆锥曲线(或已知曲线)定义确定轨迹性质，进而求得方程。

例2、(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60⁰，则动点P的轨迹方程为　　　 　　　　　　

(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_____

　(3) 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为　　　 。双曲线的左支上。注：都内切时，得到该双曲线的右支。若与前者内切，与后者外切时，得到双曲线的左支，若与前者外切，与后者内切时，得到双曲线的右支，

(4)、

3、相关点代入法：当动点P(x，y)与已知曲线上动点P₁(x₁，y₁)相关时，用x，y表示x₁，y₁，再代入已知曲线方程，求得轨迹方程。

例3：(1)动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________

(1)　　　 若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____

例4、设O为平面直角坐标系的原点，已知定点A(3,0)，动点B在曲线x+y=1上运动，∠AOB的平分线交AB于点M，求动点M的轨迹方程。

分析：当轨迹上的点的坐标难以直接建立关系时，且已知轨迹上的点的坐标受已知曲线上的某一动点的坐标的影响，可用相关点代入法。本题可用角平分线定理和相关点代入法。

(4x-3)+16y=9

4、交轨法：已知所求曲线是某两条曲线的交点可通过解方程组而得。(常与参数法相结合。)

例5、已知直线L1过A(－2,0)，直线L2过B(2,0)，且L1与L2分别绕A，B旋转，它们在y轴上截距分别为，其中，试求L1与L2交点的轨迹方程。

5、参数法。先选定某个变量作为参数，再找出曲线上的点的横坐标、纵坐标与参数的关系式，然后再消去参数。

例6、已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点(如图)，问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由

根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.按题意有A(－2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(－2，4a)设

由此有E(2，4ak)，F(2－4k，4a)，G(－2，4a－4ak)

直线OF的方程为：①

直线GE的方程为：②

从①，②消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程

整理得 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

　　 当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长

当时，点P到椭圆两个焦点(的距离之和为定值

当时，点P 到椭圆两个焦点(0， 的距离之和为定值2.

本题是交轨法与参数法的例子。

例7、(本例是情侣圆锥曲线的求法)

本题是相关点代入法和交轨法相结合。

6、待定系数法：已知曲线方程的类型，可先设出曲线方程的形式，然后求出有关的系数。

例8、