243. 如图，边长均为a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为。点M在AC上，点N在BF上，若AM=FN ,(1)求证:MN//面BCE ; (2)求证:MNAB;
(3)求MN的最小值.
解析：(1)如图,作MG//AB交BC于G, NH//AB交BE于H, MP//BC交AB于P, 连PN, GH , 易证MG//NH,且MG=NH, 故MGNH为平行四边形,所以MN//GH , 故MN//面BCE ;
(2)易证AB面MNP, 故MNAB ;
(3)即为面ABCD与ABEF所成二面角的平面角,即,设AP=x , 则BP=a－x , NP=a－x , 所以：
，
故当时，MN有最小值．
242.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=(1)求MN的长；
(2)当为何值时，MN的长最小； (3)当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。
解析：(1)作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,
∴,, 即,
∴
(2)由(1)知: ，
(3)取MN的中点G，连接AG、BG，∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，
∴∠AGB即为二面角α的平面角。又，所以由余弦定理有
。故所求二面角。
241. 已知点P是正方形ABCD所在的平面外一点，PD面AC，PD=AD=，设点C到面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则( )
(A) <d1 <d2(B)d1< d2<(C)d1<< d2(D)d2<d1<
解析：，，故d2<d1<，选D。
240. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别是A1D1、A1B1、BC、CD、DA、DE、CL的中点，(1)求证：EFGF；(2)求证：MN//平面EFGH；(3)若AB=2，求MN到平面EFGH的距离。
解：(1)证：取B1C1中点Q，则GQ面A1B1C1D1，且EFFQ，由三垂线定理得EFGF；
(2)在三角形DEG中，MN//EG，由此可证MN//平面EFGH；
(3)设所求距离为h，由VE-NGH=VN-HEG，得，又，，EL=2，故。
239.已知：如图，ABCD是边长为2的正方形，
PC⊥面ABCD，PC=2，E、F是AB、AD中点。
求：点B到平面PEF的距离。
解析：由BD∥EF可证DB∥平面PEF，则点B到平面PEF的距离转化为直线与平面PEF的距离。又由平面PCA垂直平面PEF，故DB与AC的交点到两垂直平面的交线的距离为所求距离。
方法一：连接DB，AC交于O点，设AC交EF于G，连PG，
作OH⊥PG，H为垂足。
∵E、F是AB、AD中点，∴EF∥DB，∴DB∥面PEF，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF⊥AC，
∵PC⊥面ABCD，∴EF⊥PC，∴EF⊥面PCG，
∵EFÌ面PEF，∴面PEF⊥面PCG，
∵OH⊥PG，∴OH⊥面PEF，即OH为所求点B到平面PEF的距离。
由ABCD边长为2，∴AC=2，GO=，GC=，
∵PC⊥面ABCD，∴PC⊥AC，
∴△OHG∽△PCG，∴,
由PC=2，PG=
∴OH==
即点B到平面PEF的距离为。
方法二：如图，连接BF、PB，设点B到平面PEF的距离为d，
由VP-BEF=S△BEF·PC
=××BE×AF×PC
=×1×1×2=
连AC交EF于G,连PG,由方法一知
PG=,EF=,S△PEF=××=
∴VB-PEF=·S△PEF·d=VP-BEF=,
∴d=1 d=
238. 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上一点Q到侧面PAB、侧面PBC、侧面PAC的距离依次为2，3，6。
求：P、Q两点间的距离。
解析：如图，作QE⊥面PAB，
QM⊥面PBC，QH⊥面PAC，E、M、N为垂足。
由PA、PB、PC两两垂直，所以PC⊥面PAB，PB⊥面PAC，
PA⊥面PBC，可得三个侧面两两垂直。
设平面QEM与PB交于F，平面QEH与PA交于G，平面MQH与PC交于N，连接EF、MF、GH、GQ、NH、NM，可证明QMNH-EFPG是长方体。
∴PQ===7。
237. 正方体各个面所在的平面能将空间分成m个部分，m应等于 ( ) A. 27 B. 21 C. 18 D.9
解析：A
如果将正方体各个面延展，可视为将空间分成三个层面，上面如图标出直角的层面，中间一层，下面一层，而上面一个层面中，又分成九个部分，共93=27个部分。
236. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点，O为底面ABCD中心， 求证：B1O⊥平面PAC。
证明：如图：连结AB1，CB1，设AB＝1 ∵AB1＝CB1＝，AO＝CO，∴B1O⊥AC， 连结PB1，∵ ∴ ∴B1O⊥PO， ∴B1O⊥平面PAC。
233. 如图：BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，作PD⊥BC于D，连结AD，则图中共有直角三角形_________个。
8 解析：Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP。 可证BC⊥平面APD，由BC⊥AD，BC⊥PD 可得Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC 共8个。 234. 如图：已知ABCD是空间四边形，AB＝AD，CB＝CD 求证：BD⊥AC 证明：设BD的中点为K，连结AK、CK， ∵AB＝AD，K为BD中点 ∴AK⊥BD 同理CK⊥BD，且AK∩KC＝K ∴BD⊥平面AKC ∴BD垂直于平面AKC内的所有直线 235. 如图2－40：P是△ABC所在平面外的一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H是垂足。 求证：H是ABC的垂心。
证明：∵PA⊥PB，PB⊥PC， ∴PA⊥平面PBC，BC平面PBC ∴BC⊥PA ∵PH⊥平面ABC，BC平面ABC ∴BC⊥PH ∴BC⊥平面PAH，AH平面PAH ∴AH⊥BC，同理BH⊥AC，CH⊥AB， 因此H是△ABC的垂心。
232.如图：已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径， C是异于A、B的⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于E ， 求证：AE⊥平面PBC。 证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC 而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC 又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE ∵PC⊥AE且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC。
。点M在AC上，点N在BF上，若AM=FN
,(1)求证:MN//面BCE ; (2)求证:MN
AB; 
即为面ABCD与ABEF所成二面角的平面角,即
,设AP=x , 则BP=a－x
, NP=a－x
, 所以：
，
时，MN有最小值
．
(1)求MN的长；
的大小。
,
, 即
, 
，
，所以由余弦定理有
。故所求二面角
。
，设点C到面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则( )
解析：
，
，故d2<d1<
，又
，
，EL=2，故
。
，GO=
，GC=
，
,
=
由VP-BEF=
S△BEF·PC
×BE×AF×PC
×1×1×2=
,EF=
,
求：P、Q两点间的距离。
=
=7。
如果将正方体各个面延展，可视为将空间分成三个层面，上面如图标出直角的层面，中间一层，下面一层，而上面一个层面中，又分成九个部分，共9
3=27个部分。
，AO＝CO，∴B1O⊥AC，
连结PB1，∵
∴
∴B1O⊥PO，
∴B1O⊥平面PAC。
可证BC⊥平面APD，由BC⊥AD，BC⊥PD
可得Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC
共8个。
234. 如图：已知ABCD是空间四边形，AB＝AD，CB＝CD
求证：BD⊥AC
证明：设BD的中点为K，连结AK、CK，
∵AB＝AD，K为BD中点
∴AK⊥BD
同理CK⊥BD，且AK∩KC＝K
∴BD⊥平面AKC
∴BD垂直于平面AKC内的所有直线
235. 如图2－40：P是△ABC所在平面外的一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H是垂足。
求证：H是ABC的垂心。
证明：∵PA⊥PB，PB⊥PC，
∴PA⊥平面PBC，BC
平面PBC
∴BC⊥PA
∵PH⊥平面ABC，BC