275. 直线a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，a⊥b，求证：α⊥β.

证明　 过b上任意一点作直线a′，使a∥a′.∵a⊥b,∴a⊥b.

设相交直线a′、b确定一个平面,∩β＝c.∵b⊥β,cβ,∴b⊥c.

在平面内，b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α,∴c⊥α,cβ，∴β⊥α

272. 设两个平面互相垂直，则(　)．

　A．一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面

　B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上

　C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面

　D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直

解析：B．如图答9-38，在正方体中，平面⊥平面ABCD，其中平面，但不垂直平面ABCD，故A不正确．点D在交线AD上，，但不垂直平面ABCD，故C不正确．平面，AC平面ABCD，但与AC不垂直，故D不正确． 273. 如图9-43，∠AOB是二面角a -CD-b 的平面角，AE是△AOB的OB边上的高，回答下列问题，并说明理由：

　(1)CD与平面AOB垂直吗?

　(2)平面AOB与a 、b 垂直吗?

　(3)AE与平面b 垂直吗?

解析：(1)∵　∠AOB是二面角a -CD-b 的平面角，∴　OB⊥CD，OA⊥CD，∴　CD⊥平面AOB．

　　(2)∵　CD⊥平面AOB，CDa ，∴　a ⊥平面AOB．同理b ⊥平面AOB．

　　(3)∵　CD⊥平面AOB，∵　AE平面AOB，∴　CO⊥AE，又∵　AE⊥OB，CD∩OB=O，∴　AE⊥平面BCD，即AE⊥b ． 274. 如图9-44，以等腰直角三角形的斜边BC上的高AD为折痕，使△ABD和△ACD折成相垂直的两个面．求证：BD⊥CD，∠BAC=60°．

图9-44

解析：∵　AD是等腰△ABC底边BC上的高线，∴　AD⊥BD，AD⊥DC，∴　∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，∵　平面ABD⊥平面ACD，∴　∠BDC=90°，即BD⊥DC．连结BC，设AD=a，则BD=DC=AD=a，，，，∴　△ABC是正三角形，∴　∠BAC=60°

271. 下列命题中正确的是(　)．

　A．平面a 和b 分别过两条互相垂直的直线，则a ⊥b

　B．若平面a 内的一条直线垂直于平面b 内的两条平行直线，则a ⊥b

　C．若平面a 内的一条直线垂直于平面b 内的两条相交直线，则a ⊥b

　D．若平面a 内的一条直线垂直于平面b 内的无数条直线，则a ⊥b

解析：C．a 内的直线l垂直b 内的相交直线a、b，则l⊥b ．∵　la ，∴　a ⊥b ．

270. 若二面角a -l-b 的一个半平面a 上有一个点A，点A到棱l的距离是它到另一个平面b 的距离的2倍，则这个二面角的大小为(　)．

　A．90°　　　 B．60°　　　C．45°　　　D．30°

解析：D．作AH⊥b 交b 于H，作HB⊥l于B，连结AB，由三垂线定理，HB⊥l，∴　∠ABH为二面角a -l-b 的平面角，由已知在Rt△ABH中，AB=2AH，∴　∠ABH=30°．

269. 如图9-42，立体图形A-BCD中，AC=AD，BC=BD．求作二面角A-CD-B的平面角，并说明理由．

解析：取CD中点E，连结AE、BE，∵　AC=AD，∴　AE⊥CD．∵　BC=BD，∴　BE⊥CD，∴　∠AEB为二面角A-CD-B的平面角．

268. 根据叙述作图，指出二面角a -l-b 的平面角，并证明．

　(1)已知a ∩b =l，A∈l(图9-39)．在a 内作PA⊥l于A，在b 内作QA⊥l于A．

图9-39

　(2)已知a ∩b =l，A∈a ，(图9-40)．作AP⊥b 于P，在a 内作AQ⊥l于Q，连结PQ．

图9-40

　(3)已知a ∩b =l，， (图9-41)．作AP⊥a 于P，AQ⊥b 于Q，l∩平面PAQ=H，连结PH、QH．

解析：(1)PAa ，QAb ，PA⊥l，QA⊥l，∴　∠PAQ为二面角的平面角．

　　(2)∵　AP⊥b ，∴　PQ为AQ在平面b 内的射影，∵　AQ⊥l，根据三垂线定理，有PQ⊥l，∴　∠AQP为二面角的平面角(如图答9-35)．

　　(3)∵　AP⊥a ，∴　AP⊥l，∵　AQ⊥b ，∴　AQ⊥l，∴　l⊥平面PAQ，∵　PH·QH平面PAQ，∴　l⊥PH，l⊥QH，∴　∠PHQ为二面角的平面角(如图答9-36)．

267.长方体中，则所成角的大小为______________。

解析：如图所示，将平移到，则在中

266. 正方体的两条体对角线所夹角的正弦值为______________。

解析：易知故两条体对角线相交，设交点为O(如图)，则即为所成的角。

　设正方体棱长为1，则

　，所以，而，故

　，即，

265.试证：两两相交且不全过同一点的四条直线共面.

解析：(1)设a、b、c、d四条直线两两相交，且不过同一点，并且无三线共点.

记　 a∩b＝A,a∩c＝C,c∩b＝B,

∵　 a∩b＝A,∴　 a、b确定平面α.

∴　 B∈b,C∈a.　 ∴ 　B、C∈α.

∴　 BCα，即cα，同理dα

从而　 a、b、c、d共面

(2)若有三线共点，不妨设b、c、d相交于A，

a∩b＝B，a∩c＝C,a∩d＝D.

∴　 a与A可确定平面α.

∵　 B∈a.　 ∴B∈α，于是bα.

同理，cα，dα.

从而a、b、c、d共面.

264.异面直线l₁、l₂，它们之间的距离为1，所成角是，它们的公垂线是AB，A∈l₁,B∈l₂.E∈l₁,F∈l₂,AE＝BF＝1，求EF的长.

解析：如图，用异面直线l₁、l₂作为长方体的上、下底面的对角线，公垂线AB为高.

①EF的长即是正方形PEE′F的对角线长，为.

②侧面的对角线，用勾股定理得＝2，即为所求.