5．(福建省莆田四中2008届5月份第二次模拟考试，理科，21)

已知为坐标原点，点、的坐标分别为 ，点、满足

||，()，过点且垂直于的直线交线段于点，

设点的轨迹为.

(1)求轨迹的方程；

(2)设直线的：与轨迹交于不同的两点、，对点和向量，求取最大值时直线的方程.

[解析](1)由椭圆的定义易得点的轨迹的方程；(2)设出、两点的坐标后转化成向量的坐标运算，进而由不等式放缩得到取最大值时k的值，即得到直线的方程.

[答案](1)∵＝(+)，∴N为AF的中点

∴||＝||∴||+||＝||+||＞||

∴点M的轨迹C是以E、F为焦点的椭圆

∵长半轴a＝，半焦距c＝

∴b2＝a2－c2＝1

∴点M的轨迹C的方程为+y2＝1

(2)将y＝k(x+1)(k≠0)代入椭圆C：+y2＝1中，整理得

　(1+3k2)x2+6k2x+3k2－3＝0

设R(x3，y3)、S(x4，y4)

则x3+x4＝－，x3x4＝

所以y3y4＝k2(x3+1)(x4+1)＝k2(x3+x4+x3x4+1)＝－

∴＝(x3－1)(x4－1)+y3y4－3－9k2

＝x3x4－(x3+x4)+1+y3y4－3－9k2＝++1－－3－9k2

＝－3－9k2＝－[+3(1+3k2)]≤－2×4＝－

当且仅当＝3(1+3k2)，即k2＝∈(0，1)时等号成立

此时，直线l的方程为y＝±(x+1)

4．(广东省实验中学2008届高三第三次模拟考试，理科，20)

已知抛物线x2=－y，直线L：(m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (m∈R且m≠－1)与抛物线交于A，B两

点.

(1) 当m=0时，试用x,y的不等式组表示由直线L和抛物线围成的封闭图形所在平面区域(包边界) ,并求该区域的面积.

(2)求证：对任意不为零的实数m，抛物线的顶点都在以线段AB为直径的圆C上；并求圆

C的圆心的轨迹方程.

(3)将抛物线x2=－y的图像按向量=(4，16)移动后得到函数y=f(x)的图像，若

问是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

[解析](1)所要表示的平面区域包括边界，要注意不等式取等号，由定积分即可求出相应

的面积，计算时可以整体代入；

(2)证明抛物线的顶点在以线段AB为直径的圆C上，即证明，圆C的圆心的

轨迹可由中点坐标公式利用“代入法”求得；

(3)构造函数，因为，所以y=f(x)的图

象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点问题就可以转化为函数有两个正零点的

问题，要对的单调性进行讨论，从而求出使得由两个正零点的的取值范围.

[答案](3)依题意，f(x)=-x2+8x,令

因为x＞0，要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有2个不同的交点，则函数

的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点

当x∈(0，1)时，是增函数；

当x∈(1，3)时，是减函数

当x∈(3，+∞)时，是增函数

当x=1或x=3时，

∴

又因为当x→0时，

当

所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须

即

∴m=7或

∴当m=7或时，函数f(x)与g(x)的图象有且只有两个不同交点.

3．(宁夏银川一中2008届高三年级第五次月考测试，理科，21)

已知直线相交于A、B两点.

(1)若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；

(2)若向量互相垂直(其中O为坐标原点)，当椭圆的离心率

时，求椭圆的长轴长的最大值.

[解析](1)由已知条件易求椭圆的标准方程，再由弦长公式即可求得线段AB的长；(2)由向量互相垂直可以设从而转化成坐标运算，求出的关系，进而用离心率表示，再由，求出的范围即求出长轴长的最大值.

[答案](1)，

，

联立

则

，

　 (2)设，

由，　

，

，

由此得

故长轴长的最大值为

2．(山东省烟台市2008届高三5月适应性练习，理科，21)

如图，在平面直角坐标系中，N为圆A上的一动点，点B(1，0)，点M

　 是BN中点，点P在线段AN上，且

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)试判断以PB为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由。

[解析](1)由垂直平分线的性质和椭圆定义易求；(2)设出，由中点坐标公式可得以PB为直径的圆的圆心，进而求出半径又圆的圆心为(0，0)，半径比较圆心距与的大小关系即可.

[答案](1)由点M是BN中点，又

可知PM垂直平分BN，所以

所以|PA|+|PB|=4

由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.

设椭圆方程为

由

可知动点P的轨迹方程为

(2)解：设点

即以PB为直径的圆的圆心为，

半径为

又圆的圆心为(0，0)，半径

又

故即两圆相切.

1．(山东省潍坊市2008届高三5月教学质量检测，理科，21)

已知实数m>1，定点A(－m，0)，B(m，0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积

为

(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；

(2)当时，问t取何值时，直线与曲线C有且只有一个交

点？

(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1，0)的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率.

[解析](1)由题易得动点S的轨迹C为椭圆，注意要除去x轴上的两项点；(2)联立直线与椭圆方程，由即可求得值，注意；(3)由两点间的距离公式和点到直线的距离公式表示出两距离之比，转化成求关于的函数的最小值问题，利用导函数即可解之.

[答案](1)设.

　　　 由题意得

　　　 ∵m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两项点)，其中长轴长为2，短轴长为2.

　 (2)当m=时，曲线C的方程为

　　　 由

　　　 令

　　　 此时直线l与曲线C有且只有一个公共点.

　 (3)直线l方程为2x－y+3=0.

　　　 设点表示P到点(1，0)的距离，d2表示P到直线x=2的距离，

　　　 则

　　　 令

　　　 则

　　　 令

　　　 ∴的最小值等于椭圆的离心率.

7．(2008年广东卷，文科，20)

设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．

[解析](1)由已知可求出G点的坐标，从而求出抛物线在点的切线方程，进而求出点的坐标，由椭圆方程也可以求出点的坐标，从而求出，得出椭圆方程和抛物线方程；(2)以为直角和以为直角的直角三角形显然各一个，以为直角的直角三角形是否存在可以转化成对应的方程是否有解的问题，从而可以求出满足条件的P点的个数.

[答案](1)由得，

当得，G点的坐标为，，，

过点G的切线方程为即，

令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，

即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；

(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，

同理 以为直角的只有一个。

若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，

。

关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。

6．(2008年山东卷，文科，22)

已知曲线所围成的封闭图形的面积为，

曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．

是上异于椭圆中心的点．

(1)若(为坐标原点)，当点在椭圆上运动时，

求点的轨迹方程；

(2)若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．

[解析](Ⅰ)由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于a，b的方程组， 曲线与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然为焦点在x轴的椭圆；

(Ⅱ)(1)设出的方程，，，联立直线与椭圆得到方程组后，由可得的轨迹方程，注意或不存在时所得方程仍然成立；(2)由直线的方程：和椭圆方程联立后表示出由不等式放缩即可求出最小值.

[答案](Ⅰ)由题意得又，解得，．

因此所求椭圆的标准方程为．

(Ⅱ)(1)假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为

，．

解方程组得，，

所以．

设，由题意知，

所以，即，

因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即，

因此，

又，所以，故．

又当或不存在时，上式仍然成立．

综上所述，的轨迹方程为．

(2)当存在且时，由(1)得，，

由解得，，

所以，，．

解法一：由于

，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，

此时面积的最小值是．

当，．

当不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．

解法二：因为，

又，，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，

此时面积的最小值是．

当，．

当不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．

5. (2008年辽宁卷，文科，21)

在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．

(Ⅰ)写出C的方程；

(Ⅱ)设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？

[解析](Ⅰ)由椭圆的定义易得，(Ⅱ)设出A，B两点的坐标后由一元二次方程根与系数关系求出，再由向量的坐标运算求出k值，最后由弦长公式可以求出的值.

[答案](Ⅰ)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，

长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为．　　　 4分

(Ⅱ)设，其坐标满足

消去y并整理得，

故． 6分

，即．而，

于是．

所以时，，故．　　　 8分

当时，，．

，

而，

所以．

4．(2008年湖南卷，文科，19)

已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为.

(I)求椭圆的方程；

(II)若存在过点A(1，0)的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，

求的取值范围.

[解析](I)椭圆方程由a，b，c的关系易得，(II)设出直线的方程，求出点F关于直线的对称点，代入椭圆方程解关于的不等式组即得的取值范围.

[答案](I)设椭圆的方程为

由条件知且所以

故椭圆的方程是

(II)依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是

　设点关于直线的对称点为则

　　 解得

因为点在椭圆上，所以即

设则

因为所以于是,

当且仅当

上述方程存在正实根,即直线存在.

解得所以

即的取值范围是

3．(2007年山东卷，理科，21)

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)若直线与椭圆相交于，两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

[解析](Ⅰ)由已知易求出a，c的值，即得椭圆方程，(Ⅱ)由待定系数法设出直线方程，联立椭圆方程后由可以得到关于k和m的方程，求出满足的k和m的关系式后即可得到过定点的直线方程.

[答案](I)由题意设椭圆的标准方程为

，

　(II)设，由得

，

，.

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，

，，

，

，解得

，且满足.

当时，，直线过定点与已知矛盾；

当时，，直线过定点

综上可知，直线过定点，定点坐标为