(三)高频考点及考题类型

　　 1、直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划(老)等有关的问题，其中要重视“对称问题”及”线性规划问题”的解答。

　　 2、与圆位置有关的问题，一是研究方程组；二是充分利用平面几何知识。重在后者。

3、求曲线的方程或轨迹问题，涉及圆锥曲线的定义和几何性质(如求离心率的问题)

4、直线与圆锥曲线的位置关系问题，如参数的变量取值范围、最值；几何参量的求值问题。

5、以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题，其目的是加强联系注重应用，考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力。

(一)基本知识网络

(二)基本知识点(定义公式)

1、 直线

(1)两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)的距离公式：.

若直线的斜率为k，则.

　(老教材)定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段,其中P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂).则　　　

特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

(2)　　 直线的倾斜角(0°≤＜180°)、斜率: 过两点.

当(即直线和x轴垂直)时，直线的倾斜角＝，没有斜率

(3)直线方程的几种形式：

直线名称	已知条件	直线方程	使用范围
点斜式			k存在
斜截式	k,b		k存在
两点式	(x1,y1)、(x2,y2)
截距式	a,b
一般式			A、B不全为0
参数式	倾斜角		t为参数

(4)两条直线的位置关系

①若两条直线的方程分别为　 l₁： y=k₁x+b₁；　 l₂： y=k₂x+b₂．则　

l₁|| l₂⇔k₁=k₂,且b₁≠b₂;　　 　l₁⊥l₂⇔k₁•k₂= -1 ;

当1+k₁k₂≠0时，若q为l₁到l₂的角，则， 若α为l₁和l₂的夹角则，

②如果直线l₁、l₂的方程分别为l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,　 l₂: A₂x+B₂y+C₂=0　 则l₁与l₂

　相交的充要条件：；交点坐标：

. 平行的充要条件：l₁|| l₂⇔A₁B₂-A₂B₁=0,(B₁C₂-B₂C₁)²+(C₁A₂-C₂A₁)²≠0.

　垂直的充要条件：l₁⊥ l₂⇔A₁A₂+B₁B₂=0.

　重合的充要条件：l₁与l₂重合⇔A₁B₂-A₂B₁=B₁C₂-B₂C₁=C₁A₂-C₂A₁=0 (或).

若 A₁A₂+B₁B₂≠0，直线l₁到直线l₂的角是θ，则有tanθ=

(5)直线系方程

①与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m∊R, C≠m).

② 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m∊R)

③ 过定点(x₁,y₁)的直线系方程是：　 A(x-x₁)+B(y-y₁)=0　 (A,B不全为0)

④ 过直线l₁、l₂交点的直线系方程：(A₁x+B₁y+C₁)+λ( A₂x+B₂y+C₂)=0 (λ∊R) 注：该直线系不含l₂.

(5)距离

①点P(x_o,y_o)到直线l：Ax+By+C= 0的距离　

②两平行线l₁:Ax+By+c₁=0, l₂:Ax+By+c₂=0间的距离公式:d=

2、圆

(1)　　 圆的定义：平面上到一定点的距离等于定长的点的轨迹。

(2)　　 圆的方程

① 圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²

②一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0,(D²+E²-4F>0)　 圆心坐标：(-，-) 半径r=

③以(x₁,y₁),(x₂,y₂)为直径两端的圆的方程：(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0

④圆的参数方程：　 (为参数)

　　 (3) 点与圆的位置关系

设圆C∶(x-a)²+(y-b)²=r²，点M(x₀，y₀)到圆心的距离为d，则有：

几何表示(1)d＞r 点M在圆外；　 (2)d=r 点M在圆上；　　　　　 (3)d＜r 点M在圆内．

　　 代数表示(x-a)²+(y-b)²＞r²点M在圆外；(x-a)²+(y-b)²＝r²点M在圆上；(x-a)²+(y-b)²＜r²点M在圆内；

(4)直线与圆的位置关系

设圆C：(x-a)²+(y-b)²=r²,　 直线l的方程为Ax+By+C=0.1圆心(a,b)到l的距离为d;

　2消去y得关于x的一元二次方程判别式为△，则有：

(5) 圆与圆的位置关系

设圆C1：(x-a)²+(y-b)²=r₁²和圆C2：(x-m)²+(y-n)²=r₂²(r₁≥r₂)，且设两圆圆心距为d，则有：

(6)几个常用结论和方法

①弦长的求解：弦心距d、圆半径r、弦长l,则：(根据垂弦定理和勾股定理)

②圆的切线方程的求法

过圆上的点的圆的切线方程

..圆x²+y²=r²，圆上一点为(x₀，y₀)，则此点的切线方程为x₀x+y₀y=r²(课本命题)．

..圆(x-a)²+(y-b)²=r²，圆上一点为(x₀，y₀)，则过此点的切线方程为(x₀-a)(x-a)+(y₀-b)(y-b)=r²(课本命题的推广)．

..以(x₀,y₀)为切点的圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的切线方程：分别以x_ox,y_oy,替换圆方程中的x²,y²,x,y.

过圆外一点M(x_o,y_o)，作圆(x-a)²+(y-b)²=r²的切线，可设切线方程为点斜式：

　 y-y_o=k(x-x_o)，利用圆心到直线的距离等于半径或与圆的方程联立用判别式法求k。

注意： 由圆外一点向圆引切线，应当有两条切线。但，可能只算出一个 k值，那么，另一条斜率不存在，即过(x₀,y₀)垂直于x轴的直线x=x₀.

③两圆相交时的公共弦方程、两圆外切时的内公切线、两圆内切时的外公切线：两圆方程作差，消去二次项所得的直线方程即为所求。

3圆锥曲线

(1)椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质(见后表)

(2)椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.

(3)等轴双曲线

(4)共轭双曲线

(5)方程y²=ax与x²=ay的焦点坐标及准线方程.

(6)共渐近线的双曲线系方程.

(7)点、直线与圆锥曲线的位置关系

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

	椭圆	双曲线	抛物线
定义	1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹	1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0<e<1)	2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e>1)	与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
图形
方 　 　 程	标准方程	(>0)	(a>0,b>0)	y2=2px
参数方程			(t为参数)
范围	─a£x£a，─b£y£b	|x| ³ a，yÎR	x³0
中心	原点O(0，0)	原点O(0，0)
顶点	(a,0),　 (─a,0),　 (0,b) , (0,─b)	(a,0),　 (─a,0)	(0,0)
对称轴	x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b	x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b.	x轴
焦点	F1(c,0), F2(─c,0)	F1(c,0), F2(─c,0)
焦距	2c　 (c=)	2c　 (c=)
离心率			e=1
准线	x=	x=
渐近线		y=±x
焦半径
通径			2p
焦参数			P

4、曲线和方程

1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1) 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解(纯粹性)；

(2) 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上(完备性)。

则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。

2.求曲线方程的方法：.

(1)待定系数法; (2) 直接法(直译法)；(3)定义法; (4)相关点代入法(转移法)；(5)参数法.

3.过两条曲线f₁(x,y)=0与f₂(x,y)=0的公共点的曲线系方程：

(二)考点预测题

1(2008年江苏卷5).，的夹角为，， 则　　　 ．

[解析]=，则7．

[答案]7．

2(2007年山东理11)．　 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是(　)

A．　　 　B． 　

C．　 　　D．

[解析]由于 cso∠CAB=||², 可排除A. cos∠ABC=², 可排除B , 而cos(π－∠ACD)=－|cos∠ACD<0 ， |>0 , ∴|≠，可知选C．

[答案]C．

3(广东省2009届高三第一次六校联考(理)16)．已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，．

(Ⅰ)若a⊥b，求θ；

(Ⅱ)求｜a+b｜的最大值．

[解析](Ⅰ)若a⊥b，则sinθ+cosθ＝0， 　　　　　　　　　　　　　

由此得　 tanθ＝－1()，

所以 θ＝；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　

(Ⅱ)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，得

｜a+b｜＝＝

＝， 　　　　　　　　　　　　　　　　

当sin(θ+)＝1时，|a+b|取得最大值，

即当θ＝时，|a+b|最大值为+1． 　　　　　　　　　　　　　

4(2009届广东五校高三第二联考试卷文) ．已知向量，，．

　 (1)若的夹角；

　 (2)当时，求函数的最大值．

[解析](1)当时，

(2)

．

∴，故

∴当时，即，所以．

(一)文字介绍

　　 预计向量基本概念、向量基本运算等基础问题，通常为选择题或填空题出现；而向量与三角函数、解三角形等综合的问题，通常为解答题，难度以中档题为主．具体如下：

1．向量概念和向量的基本定理

有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档类型．

2．向量的运算

向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系．主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合．

3．向量与三角函数的综合问题

向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求．命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题．

4．平面向量与函数问题的交汇

平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围．命题多以解答题为主，属中档题．

1(汉沽一中2008~2009届月考文9)．已知平面向量, , 且, 则(　 )

A．　　　 B．　　 C．　　　 D．

[解析]∵,∴,．

B．

2(浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题(理)5)．已知，点P在直线AB上，且满足，则=(　 )

A、　　 B、　　 C、2　　　 D、3　

[解析]如图所示，不妨设；找共线，对于点P在直线AB上，有；列方程，因此有，即；而，即有，因此时.即有=.

[答案]B．

3(沈阳二中2009届高三期末数学试题).设点P是△ABC所在平面内一点，，则点P是△ABC的(　 )

A．内心　　　　　　　 B．外心　　　　 C．重心　　　　 D．垂心　　

[解析]

[答案]D.

4(宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文))．已知在平面直角坐标系中，，

，O为原点，且(其中均为实数)，若N(1，0)，则的最小值是　　　　 .

[解析]由及知，点M与点A、B共线，所以的最小值是点N到直线AB的距离，在直角三角形ABN中求解得．

[答案].

5(福州质检·理).已知，若，则　　　　　　 ．

[解析]由得：，即，所以，．

[答案]．

6(江苏省南通市2008-2009学年度第一学期期末调研测试数学试卷13) .在△ABC中，，D是BC边上任意一点(D与B、C不重合)，且，则等于　　　 ▲　　　 ．

[解析]当点D无限逼近点C时，由条件知趋向于零，，即△ABC是等边三角形．

[答案] ．

7 ( 江苏省常州市2008-2009高三第一学期期中统一测试10) .已知，且关于的函数在R上有极值，则与的夹角范围为_______.

[解析]，依题意，

即，，又夹角，所以范围为．

[答案]．　 　

8(2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试).

已知向量

(1)当时，求的值；

(2)求在上的值域．

[解析](1) ，∴，∴

．

(2)

∵，∴，∴

∴　 ∴函数 ．

9(绍兴市2008学年第一学期统考数学试题).已知向量，

(1)若求的值；

(2)设，求的取值范围.

[解析](1)因

，∴，两边平方得，

∴．

(2)因，∴

又，∴的取值范围为.

10 (温州市十校2008学年高三第一学期期初联考 数学试题(文)) ．已知A、B、C三点的坐标分别为、、．

　 (1)若的值；

　 (2)若，求的值．

[解析](1) 　　

∵　 ∴

即

∴，又∵，∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)

，∴，

两边平方，得，

=．　　　

1(2008年安徽卷3)．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则(　　 )

A．(－2，－4)　 B．(－3，－5)　　 C．(3，5)　　 D．(2，4)

[解析]因为，选B．

[答案]B．

2(2007年山东文5)．已知向量，若与垂直，则(　 C　 )

A．　　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．4

[解析]∵2－与垂直. ∴(2－)·=0, 而2－= (3 , n) , ∴－3+n²=0 , 而||² == 4 即 ||=2 . 两个非零向量⊥·=0x₁x₂+y₁y₂=0 , ||² =² = x² +y²．

[答案]C．

3(2008年辽宁卷理5).已知是平面上的三个点,直线上有一点,满足,则等于(　 )

　 A.　　 B.　　 C.　　 D.

[解析]依题∴

[答案]A．

4(2008年浙江卷理9)．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是(　　 )

　　 　A. 1　　　 B. 2 　　C. 　　　D.

[解析]

∴，则的最大值是；

∴，对应的点A,B在圆上,对应的点C在圆上即可.

[答案]C．

5(2008年天津卷理14)．如图，在平行四边形中，，

则　　　 ．

[解析]令，，则

所以.

[答案]3．

6(2007年天津理15)．如图，在中，，是边上一点，，则　　　．

[解析]在中，有余弦定理得，，

由正弦定理得，则，在中，由余弦定理求得，则，

由余弦定理得，

_．

[答案]．

7(2007年广东文16)．已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．

　　 (1)若，求的值；

(2)若，求sin∠A的值

[解析] (1) ，，

　　　　 　由　 得．

　　　 (2)　 ，， ，

．

5．向量的应用

　(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

　(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

4．平面向量的数量积

　(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义．

　(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

　(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

　(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

3．平面向量的基本定理及坐标表示

　(1) 了解平面向量的基本定理及其意义．

　(2) 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．

　(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

　(4) 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

2．向量的线性运算

　(1) 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．

　(2) 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．

　(3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义．