2.(2008全国二21)．(本小题满分12分)

设，函数．

(Ⅰ)若是函数的极值点，求的值；

(Ⅱ)若函数，在处取得最大值，求的取值范围．

解：(Ⅰ)．

因为是函数的极值点，所以，即，因此．

经验证，当时，是函数的极值点．············· 4分

(Ⅱ)由题设，．

当在区间上的最大值为时，

，　 即．故得．··············· 9分

反之，当时，对任意，

，

而，故在区间上的最大值为．

综上，的取值范围为．······················ 12分

1.(2008全国一21)．(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

已知函数，．

(Ⅰ)讨论函数的单调区间；

(Ⅱ)设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

解：(1)

求导：

当时，，

在上递增

当，求得两根为

即在递增，递减，

递增

(2)，且 　　解得：

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．

2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

导数属于新增内容，是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，不但一定出大题而相应有小题出现。主要考查导数有关的概念、计算和应用。利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，是函数知识和不等式知识的一个结合体，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，不但突出了能力的考查，同时也注意了高考重点与热点，这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有益处。

1．了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

(二)考点预测题

1. (2007年山东高考真题模拟试卷八，理科，22)

椭圆G：的两个焦点F1(－c，0)、F2(c，0)，M是椭圆上的

一点，且满足

(Ⅰ)求离心率e的取值范围；

(Ⅱ)当离心率e取得最小值时，点N(0，3)到椭圆上的点的最远距离为求此时

椭圆G的方程；(ⅱ)设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q

为AB的中点，问A、B两点能否关于过点的直线对称？若能，求出k的取值

范围；若不能，请说明理由.

[答案](I)设M(x0，y0)

　　　　　　　　 ①

又　 ②

由②得代入①式整理得

又

解得

(Ⅱ)(i)当

设H(x，y)为椭圆上一点，则

若0

由(舍去)

若b≥3，当y=－3时，|HN|2有最大值2b2+18

由2b2+18=50得b2=16

∴所求椭圆方程为

(ii)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，则由

　　　　 　　③

又直线PQ⊥直线l　　 ∴直线PQ方程为

将点Q(x0，y0)代入上式得，　　 ④

由③④得Q

(解1)而Q点必在椭圆内部　

由此得

故当时A、B两点关于点P、Q的直线对称.

(解2)∴AB所在直线方程为

由得

显然1+2k2≠0

而

直线l与椭圆有两不同的交点A、B　 ∴△＞0

解得

故当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称。

(ii)另解；设直线l的方程为y=kx+b

由得

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，则

　　　 ③

又直线PQ⊥直线l　　 ∴直线PQ方程为

将点Q(x0，y0)代入上式得，　　 ④

将③代入④⑤

∵x1，x2是(*)的两根

⑥

⑤代入⑥得

∴当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称

2．(2007年山东高考真题模拟试卷十一，理科，22)

双曲线M的中心在原点，并以椭圆的焦点为焦点，以抛物线的

准线为右准线.

(Ⅰ)求双曲线M的方程；

(Ⅱ)设直线： 与双曲线M相交于A、B两点，O是原点.

① 当为何值时，使得?

② 是否存在这样的实数,使A、B两点关于直线对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

[答案](Ⅰ)易知，椭圆的半焦距为：，

　又抛物线的准线为：.

设双曲线M的方程为，依题意有，

故，又.

∴双曲线M的方程为.

(Ⅱ)设直线与双曲线M的交点为、两点

联立方程组 消去y得　 ，

∵、两点的横坐标是上述方程的两个不同实根， ∴

∴，从而有

，.

又，

∴.

① 若，则有 ，即 .

∴当时，使得.

② 若存在实数,使A、B两点关于直线对称，则必有 ，

因此，当m=0时，不存在满足条件的k；

当时，由 得

∵A、B中点在直线上，

∴ 代入上式得

；又， ∴

将代入并注意到，得 .

∴当时，存在实数，使A、B两点关于直线对称.

3．(2008年山东卷，理科，22)

如图，设抛物线方程为为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为

(I)求证：三点的横坐标成等差数列；

(II)已知当点的坐标为时，求此时抛物线的方程；

(III)是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中点满足(为坐标原点)。若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由。

[答案](I)证明：由题意设，，

，

所以三点的横坐标成等差数列。

(II)解：由(I)知，

所以是方程的两根，

或

因此所求抛物线方程为或

(III)解：设由题意得，则中点坐标为

设直线的方程为

与都在上，代入得.

若在抛物线上，则即.

1)当

2)当

(1)对于

矛盾.

(2)对于，，则与轴平行，而直线不垂直矛盾。

综上可知，仅存在一点适合题意.

(一)文字介绍

圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一.高考对圆锥曲线的考查，总体上是以知识应用和问题探究为主，一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断(求)其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有关的其他问题(如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值范围等)；或考查圆锥曲线与其他知识综合(如不等式、函数、向量、导数等)的问题等.

8. (辽宁省抚顺一中2009届高三第一次模拟考试，理科，21)

椭圆ax2+by2 =1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，若|AB|=2，线段AB的中点为C，且OC的斜率为，求椭圆方程.

[解析]联立直线与椭圆方程，根据一元二次方程根与系数关系、中点坐标公式、斜率公式求出a，b的关系，再由弦长公式求出a，b的值，即得所求椭圆的方程.

[答案]∴(a+b)x2 -2bx+b-1=0

∴

C()

KOC =∴b=a，

代入|AB|=2，即：(1+k2)[(x1+x2)2-4 x1x2]=8

a=，b=

∴椭圆方程为：x2+y2 =1

7. (江苏省盐城一中、大丰中学、建湖中学2009届高三第二次调研考试， 21)

抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，

(Ⅰ)求定点N的坐标；

(Ⅱ)是否存在一条直线同时满足下列条件：

① 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为；

② 被圆N截得的弦长为．

[解析](1)由抛物线的定义易得；

(2)假设存在直线，设出直线的方程为，.

方法1：由弦心距的长为1求出的值，然后检验是否符合AB中点为这个条件；

方法2：将直线的方程分别与直线的方程联立，求出A、B两点的坐标，再由中点坐标公式求出的值，最后检验弦心距的长是否为1；

方法3：设出A点的坐标为，由中点坐标公式和B点在上，求出的值，进而求出直线的斜率，最后检验弦心距的长是否为1.

[答案](1)因为抛物线的准线的方程为

所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，

所以定点N的坐标为

(2)假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在，

设的方程为，

以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为，

方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，

即，解得，

当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！

当时，的方程为

由，解得点A坐标为，

由，解得点B坐标为，

显然AB中点不是，矛盾！

所以不存在满足条件的直线．

方法2：由，解得点A坐标为，

由，解得点B坐标为，

因为AB中点为，所以，解得，

所以的方程为，

圆心N到直线的距离，

因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！

所以不存在满足条件的直线．

方法3：假设A点的坐标为，

因为AB中点为，所以B点的坐标为，

又点B 在直线上，所以，

所以A点的坐标为，直线的斜率为4，

所以的方程为，

圆心N到直线的距离，

因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！

所以不存在满足条件的直线．

6. (山东省文登市2009届高三第三次月考试题，理科，21)

过点作倾斜角为的直线，交抛物线：于两点，且

成等比数列。⑴求的方程；⑵过点的直线与曲线交于

两点。设，与的夹角为，

求证：。

[解析]⑴设，联立直线与抛物线的方程

后根据一元二次方程根与系数关系可得到关于的方程，解之即得

的方程；⑵法一：要证，只需证明即可.

法二：根据“以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切”这一性质分两种情况讨论即可得证.

[答案]⑴设，则由题，由得，故。

又根据可得，即，代入可得，解得(舍负)。故的方程为；

⑵法一：设，代入得，故，

从而

，因此

法二：显然点是抛物线的焦点，点是其准线上一点。设为的中点，过分别作的垂线，垂足分别为，则。因此以为直径的圆与准线相切(于点)。若与重合，则。否则点在外，因此。综上知。