12.
如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于？
[解析] 设∠PAB＝α，连接PB.
∵AB是直径，∴∠APB＝90°.
又AB＝1，∴PA＝cos α，PB＝sin α.
∵PC是切线，∴∠BPC＝α.又PC＝1，
∴S四边形ABCP＝S△APB+S△BPC
＝PA·PB+PB·PC·sin α
＝cos αsin α+sin2 α
＝sin 2α+(1－cos 2α)
＝(sin 2α－cos 2α)+
＝sin+.
由已知，sin+＝，
∴sin＝.
又α∈，∴2α－∈.
∴2α－＝，∴α＝.
故当点P位于AB的中垂线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于.
11．(2008年北京高考)已知函数f(x)＝sin2 ωx+sin ωx·sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间上的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝+sin 2ωx
＝sin 2ωx－cos 2ωx+
因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0.
所以＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin+.
∵0≤x≤π，
∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，
∴0≤sin+≤，
即f(x)的取值范围为.
10．已知f(x)＝+，且x≠2kπ+，k∈Z.
(1)化简f(x)；
(2)是否存在x，使tan·f(x)与相等？若存在，求出x；若不存在，说明理由．
[解析] (1)f(x)＝+
＝+
＝－－
＝－＝－.
(2)假设存在x使得tan·f(x)与相等，
则tan·＝，
∴－2tan＝1+tan2，
即(tan+1)2＝0，∴tan＝－1，
∴＝－+kπ，k∈Z，
即x＝－+2kπ，k∈Z，
故存在x＝－+2kπ(k∈Z)使tan·f(x)与相等．
9．(2009年上海模拟)函数f(x)＝22+sin x的最小正周期是________．
[解析] ∵f(x)＝22+sin x＝1+cos x+sin x
＝sin+1.
∴f(x)的最小正周期为2π.
[答案] 2π
8．设α是第二象限的角，tan α＝－，且sin<cos，则cos＝________.
[解析] ∵α是第二象限的角，
∴可能在第一或第三象限，
又sin<cos∴为第三象限的角，
∴cos<0.∵tan α＝－，
∴cos α＝－，∴cos＝－＝－
[答案] －
7．若＝3，tan(β－α)＝－2，则tan(β－2α)＝________.
[解析] ∵＝＝3，∴tan α＝2.
又tan(β－α)＝－2，
∴tan(β－2α)＝tan
＝＝＝.
[答案]
6．(2009年惠安模拟)若sin＝，则cos＝( )
A．－ B．－
C. D.
[解析] ∵sin＝，
∴cos＝cos
＝1－2sin2
＝1－2×2＝，
＝－cos＝－.
[答案] B
5．(2009年汤阴模拟)若2a＝sin 2+cos 2，则实数a的值所在范围是( )
A. B.
[解析] sin 2+cos 2＝2sin
≈2sin 144.6°＝2sin 35.4°.
∵sin 30°<sin 35.4°<sin 45°，
∴<sin 35.4°<，
∴1<sin 2+cos 2<，
即1<2a<，∴0<a<.
[答案] A
4．(2008年广东四校联考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于( )
A. B．－
C. D．－
[解析] ∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，
∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝，
cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.
[答案] D
3．(2009年大同模拟)函数f(x)＝sin2(x+)－sin2(x－)是( )
A．周期为2π的奇函数
B．周期为2π的偶函数
C．周期为π的奇函数
D．周期为π的偶函数
[解析] f(x)＝sin2－sin2
＝－
＝cos－cos
＝sin 2x+sin 2x＝sin 2x，
∴f(x)是周期为π的奇函数．
[答案] C
