63、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)如图，已知为平面上的两个定点，为动点，，且，(是和的交点)

⑴建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；

⑵若点的轨迹上存在两个不同的点，且线段的中垂线与(或的延长线)相交于一点，证明：(为的中点)

解：⑴如图1，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系

由题设

，而

点是以为焦点、长轴长为的椭圆，故点的轨迹方程为　　　　　 (6分)

⑵如图2，设，，且，

即，又在轨迹上，

即

代入整理得：

，　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分)

≤≤，≤≤，≤≤

，

，即。

62、(湖北省荆门市2008届上期末)已知F₁、F₂为双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足：，(λ＞0)

　 (1)求此双曲线的离心率；

　 (2)若过点N(，)的双曲线C的虚轴端点分别为B₁、B₂(B₁在y轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且，，求双曲线C和直线AB的方程.

解：(1)法一：依题意四边形OF₁PM为菱形，设P(x，y)则F₁(－c，0)，M(，y)

　　 代入得

　　 　 化简得e＝2　　　　　 　　　　　……………4分

法二：OF₁PM为平行四边形，

又(λ＞0)知P在的角平分线上

∴四边形OF₁PM为菱形，且边长为，∴　 ………4分

由第二定义知即　 又

　 (2)∴双曲线C的方程为 ……………8分

　 ∵∴过B₂的直线交曲线C于A、B两点，且

　　 设直线AB：代入得

　　 设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)由　

　　 ∴直线AB的方程为

61、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)在△ABC中，B是椭圆在x轴上方的顶点，是双曲线位于x轴下方的准线，当AC在直线上运动时。

(1)求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；

(2)过定点作互相垂直的直线，分别交轨迹E于M、N和R、Q，求四边形MRNQ面积的最小值。

解：(1)由椭圆方程及双曲线方程可得点直线方程是

　 且在直线上运动。

　 可设

　 则的垂直平分线方程为　　　　　　　　　　　　　　 ①

　 的垂直平分线方程为　　　　　 ②

P是△ABC的外接圆圆心，点P的坐标满足方程①和②

由①和②联立消去得

故圆心P的轨迹E的方程为

(2)由图可知，直线和的斜率存在且不为零，设的方程为，

，的方程为

由　　　　 得

　 △=直线与轨迹E交于两点。

设，则。

同理可得：四边形MRNQ的面积

当且仅当，即时，等号成立。

故四边形MNRQ的面积的最小值为72。(13分)

60、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)已知直线相交于A、B两点，M是线段AB上的一点，，且点M在直线上.

　 (Ⅰ)求椭圆的离心率；

　 (Ⅱ)若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆上，求椭圆的方程.

解：(Ⅰ)由知M是AB的中点，

设A、B两点的坐标分别为

由

，

∴M点的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

又M点的直线l上：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为关于直线l：

上的对称点为，

则有　　　　　　　　　　　 10分

由已知

，∴所求的椭圆的方程为　　　　　　　　 12分

59、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)已知椭圆的左、右焦点分别是F₁(－c，0)、F₂(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足

　 (Ⅰ)设为点P的横坐标，证明；

　 (Ⅱ)求点T的轨迹C的方程；

　 (Ⅲ)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由．

解 (Ⅰ)设点P的坐标为(x,y),由P(x,y)在椭圆上，得

又由知，

所以

　 (Ⅱ) 当时，点(，0)和点(－，0)在轨迹上．

当且时，由，得．

又，所以T为线段F₂Q的中点．

在△QF₁F₂中，，所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是

(Ⅲ) C上存在点M()使S=的充要条件是

由③得，由④得　 所以，当时，存在点M，使S=；

当时，不存在满足条件的点M．

当时，，

由，

，

，得

[总结点评]平面向量与椭圆的综合问题是《考试大纲》所

强调的问题，应熟练掌握其解题技巧，一般地，在这类问题

种，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会

在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几

何的基本方法和基本思想，比如本题(Ⅰ)本质是焦半径公

式，核心内容还是椭圆的第二定义的转化思想．(Ⅱ) 由

“PT其实为线段QF₂的垂直平分线”可联想到下面的题目：如右图，Q为长轴为2a椭圆上一动点，QP是∠F₁QF₂的外角平分线，且F₁P⊥QP，延长F₂Q，使F₂Q与F₁P交于点M，则|QF₁|=|QM|，所以点M的轨迹是以F₂为圆心2a为半径的圆，进一步可得到P的轨迹是以O为圆心a为半径的圆．

58、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)已知半圆，动圆与此半圆相切且与轴相切。

(1)求动圆圆心的轨迹方程。

(2)是否存在斜率为的直线，它与(1)中所得轨迹由左到右顺次交于A、B、C、D四个不同的点，且满足|AD|=2|BC|？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由。

(1)设动圆圆心，作⊥轴于点

①若两圆外切：　　 ，则　 化简得：

　 　　……………3分

②若两圆内切：　 ，则　 　

　 　　……………5分

综上，动圆圆心的轨迹方程是

　　 及　 ………6分

其图象为两条抛物线位于轴上方的部分，如图所示。

(2)假设直线存在，可设的方程为。

　 　 　 　 依题意得，它与曲线交于点，与曲线交于点。

即

　　 ①　　　　 　　②

，　　　　

2　　 =2

即+=4－　　 得……………11分

将其代入方程①得　 　　

因为曲线的横坐标范围为，所以这样的直线不存在。……………13分

57、(湖北省八校高2008第二次联考)已知A,B是抛物线上的两个动点，为坐标原点，非零向量满足．

(Ⅰ)求证：直线经过一定点；

(Ⅱ)当的中点到直线的距离的最小值为时，求的值．

解：, .设A,B两点的坐标为()，()则 .

(1)经过A，B两点的直线方程为

　　 由，得

　　 . 令，得, .　　

从而. (否则, 有一个为零向量),

.　 代入①，得 　，始终经过定点.　 ……………(6分)

(2)设AB中点的坐标为()，则 .

　　 又,　 ，

即 .……………①

AB的中点到直线的距离.

将①代入，得.

因为d的最小值为.　　　　 ……………(12分)

(若用导数求切线的斜率为2的切点坐标，参考给分.)

56、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知,点在轴上，点在的正半轴上，点在直线上，且.

(1)当在轴上移动时，求点轨迹C；

(2)若曲线的准线交轴于，过的直线交曲线于两点，又的中垂线交轴于点，求横坐标取值范围；

(3)在(2)中，能否为正三角形.

解：(1)设得

又由得　

即…………………………4分

(2)由(1)知N(－1，0)设得：

由

由

设

对

∴AB的中点为

∴AB的中点为

令

即x₀＞3.

55、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)已知椭圆+y²＝l的左焦点为F，O为坐标原点．

　　 ( I )求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；

　　 (Ⅱ)设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x+y＝0上，求直线AB的方程．

54、设圆满足:(1)截直线y=x所得弦长为2;(2)被直线y=－x分成的一段劣弧所在的扇形面积是圆面积的倍．在满足条件(1)、(2)的所有圆中,求圆心到直线x+3y=0的距离最小的圆的的方程．

解：设所求圆的圆心为P(a,b),半径为r,

则P到直线y=x、直线y=－x的距离分别为、．………(2分)

由题设知圆P截直线y=－x所得劣弧所对圆心角为90°,

圆P截直线y=－x所得弦长为r,故r²=()²，

即r²=(a+b)²，……………………(4分)

又圆P截直线y=x所得弦长为2，所以有r²=1+,

从而有．……………………(6分)

又点P到直线x+3y=0的距离为d=,

所以10d²=|a+3b|²=a²+6ab+9b²=8b²+2≥2……………………(8分)

当且仅当b=0时上式等号成立,

此时5d²=1,从而d取得最小值,由此有a=±,r=．…………(10分)

于是所求圆的方程为(x－)²+y²=2或(x－)²+y²=2…………(12分)