32、(广东省佛山市2008年高三教学质量检测一)抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，

(Ⅰ)求定点N的坐标；

(Ⅱ)是否存在一条直线同时满足下列条件：

① 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为；

② 被圆N截得的弦长为．

解：(1)因为抛物线的准线的方程为

所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，　　　　　　 -----------2分

所以定点N的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　 ----------------------------3分

(2)假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在，　　　　　　　 　-----------4分

设的方程为，　　　　　　　　　 ------------------------5分

以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为， ----6分

方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，　 -------7分

即，解得，　　　　　　　　 -------------------------------8分

当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！　　　　　　 --------------9分

当时，的方程为　　　　　　　 ----------------------------10分

由，解得点A坐标为，　　　　　　　 ------------------11分

由，解得点B坐标为，　　　　　 ------------------12分

显然AB中点不是，矛盾！　　　　　　　　 ----------------------------------13分

所以不存在满足条件的直线．　　　　　　　　 ------------------------------------14分

方法2：由，解得点A坐标为，　　　 ------7分

由，解得点B坐标为，　　　　 ------------8分

因为AB中点为，所以，解得，　　 ---------10分

所以的方程为，

圆心N到直线的距离，　　　　　　　　　 -------------------------------11分

因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！　 ----13分

所以不存在满足条件的直线．　　　　　　　 -------------------------------------14分

方法3：假设A点的坐标为，

因为AB中点为，所以B点的坐标为，　　　　 -------------8分

又点B 在直线上，所以，　　　　　　　　 ----------------------------9分

所以A点的坐标为，直线的斜率为4，

所以的方程为，　　　　　　　　　　 -----------------------------10分

圆心N到直线的距离，　　　　　　　　　　 -----------------------------11分

因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ---------13分

所以不存在满足条件的直线．

31、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)已知椭圆C：的左、右焦点为F₁、F₂，离心率为e. 直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设

　 (Ⅰ)证明：；

　 (Ⅱ)若的周长为6；写出椭圆C的方程.

解：(Ⅰ)证法一：因为A、B分别是直线轴、y轴的交点，

所以A、B的坐标分别是　 …………2分

由　 …………4分

所以点M的坐标是

即　 　　………………6分

证法二：因为A、B分别是直线轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是　　 ………………2分

设M的坐标是

　 ………………4分

因为点M在椭圆上，所以

即　

　…………6分

(Ⅱ)当的周长为6，得

所以

30、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知双曲线的离心率e＝2，且、分别是双曲线虚轴的上、下端点　

(Ⅰ)若双曲线过点(，)，求双曲线的方程；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若、是双曲线上不同的两点，且，求直线的方程　

解：(Ⅰ)∵双曲线方程为

∴，

∴双曲线方程为 ，又曲线C过点Q(2，)，

∴

∴双曲线方程为 　　………………5分

(Ⅱ)∵，∴M、B₂、N三点共线　

∵,　 ∴

(1)当直线垂直x轴时，不合题意　

(2)当直线不垂直x轴时，由B₁(0，3)，B₂(0，－3)，

可设直线的方程为，①

∴直线的方程为 　②

由①，②知 　代入双曲线方程得

，得，

解得 , ∴，

故直线的方程为　

29、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)已知，点满足，记点的轨迹为.

(Ⅰ)求轨迹的方程；

(Ⅱ)若直线过点且与轨迹交于、两点.

　 (i)设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

(ii)过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围.

解：(Ⅰ)由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，∴，故轨迹E的方程为…(3分)

(Ⅱ)当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、，

　 ∴，　　 解得 ………………………………………(5分)

(i)∵

……………………(7分)

　　 假设存在实数，使得，

　　 故得对任意的恒成立，

　　 ∴，解得

　　 ∴当时，.

　　 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立，

　　 综上，存在，使得. …………………………………………(8分)

　 (ii)∵，∴直线是双曲线的右准线，…………………………(9分)

　　 由双曲线定义得：，，

　 　方法一：∴

　　　　　　　　 　…………………………………………(10分)

　　 ∵，∴，∴………………………………………(11分)

　　 注意到直线的斜率不存在时，，

　 综上， ………………………………………………………………(12分)

　 　方法二：设直线的倾斜角为，由于直线

与双曲线右支有二个交点，∴，过

作，垂足为，则，

∴

……………………………………………………(10分)

　　 由，得

故：

28、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知方向向量为的直线过椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦点以及点(0，)，椭圆C的中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上。

⑴求椭圆C的方程。

⑵过点E(-2，0)的直线交椭圆C于点M、N，且满足，(O为坐标原点)，求直线的方程。

解：⑴直线①，过原点垂直于的直线方程为②

解①②得，∵椭圆中心O(0，0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∴， …………………(2分)

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，∴，

故椭圆C的方程为　 ③…………………(4分)

⑵当直线的斜率存在时，设 ，代入③并整理得

，设，

则……………(5分)

∴，……(7分)

　点到直线的距离.

　∵，即，

　又由　 得　 ，

∴，…………………………(9分)

而，∴，即，

　解得，此时　 …………………………………(11分)

当直线的斜率不存在时，，也有，

经检验，上述直线均满足，

故直线的方程为　

27、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)已知曲线C上任意一点M到点F(0，1)的距离比它到直线的距离小1。

　 (1)求曲线C的方程；

　 (2)过点

　　　　 ①当的方程；

②当△AOB的面积为时(O为坐标原点)，求的值。

　 (1)解法一：设，　　　　 …………1分

即

当；　　　　　　 …………3分

当　　　　　　　　　　　　　 …………4分

化简得不合

故点M的轨迹C的方程是　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

　 (1)解法二：的距离小于1，

∴点M在直线l的上方，

点M到F(1，0)的距离与它到直线的距离相等　　　　 …………3分

所以曲线C的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

　 (2)当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，

设直线m的方程为，

代入 (☆)　　　　　　　　　 …………6分

与曲线C恒有两个不同的交点

设交点A，B的坐标分别为，

则　　　　　　　　　　　　　　　　 …………7分

①由，

　　 …………9分

②

点O到直线m的距离，

…………10分

，

(舍去)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

当方程(☆)的解为

若

若　　　　　　　 …………13分

当方程(☆)的解为

若

若　　　 …………14分

　　 所以，

26、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)已知椭圆C：+＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。

(1)求直线ON(O为坐标原点)的斜率K_ON ；

(2)对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角(∈R)使等式：＝cos+sin成立。

解：(1)设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为：　　　 ①　　　　　　 　　　　………2分

易知右焦点F的坐标为()，

据题意有AB所在的直线方程为：　 ②　　　　　　　　　　 ………3分

由①，②有：　　　　 ③

设，弦AB的中点，由③及韦达定理有：

所以，即为所求。　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………5分

(2)显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1)中各点的坐标有：

，所以

。　　 　　　　　　　　　　　　　　　　………7分

又点在椭圆C上，所以有整理为。　　　　　 ④

由③有：。所以

　 ⑤

又A﹑B在椭圆上，故有　　　　　　　　 ⑥

将⑤，⑥代入④可得：。　　　　　　　　　　　　　　　　 ………11分

对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而

在直角坐标系中，取点P()，设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然 。

也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角(∈R)使等式：＝cos+sin成立。

50、(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)已知AB是椭圆的长轴，若把该长轴等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点，设左焦点为，则

答案：A

49、(山西大学附中2008届二月月考)点P是双曲线的一个交点，且2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，其中F₁、F₂是双曲线C₁的两个焦点，则双曲线C₁的离心率为　　　　　　 .

答案：+1

48、(山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)已知F₁、F₂是椭圆=1(5＜a＜10＝的两个焦点，B是短轴的一个端点，则△F₁BF₂的面积的最大值是　　　　　　　　　　

答案：