例8．对于函数

(1)若函数在处的切线方程为,求的值；

(2)设是函数的两个极值点,且,证明：

解：(1)由切点为，，有

　　 解得

(2)由题，、是方程的两个根，可得两根一正一负，

不妨设

.

设

；

当时，.　 所以当时，，即.

变式：

已知函数

(1)若函数图像上点处的切线方程为，求的值．

(2)若函数在内是增函数，且()，试比较与的大小．

解：(1)，则过点的切线斜率为

.切线方程为，，即..

在的图像上，.

(2)函数在内是增函数，对一切恒成立，即. 在内是增函数，，.令，则(当且仅当取等号)，故。

反馈练习：

1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是(　 A　 )

例7．已知函数。

(1)设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n，其中a₁=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点(n，S_n)也在y=f′(x)的图象上；

(2)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值。

　解：(1)因为所以′(x)=x²+2x，由点在函数y=f′(x)的图象上,又所以

　所以,又因为′(n)=n²+2n,所以,

　故点也在函数y=f′(x)的图象上.

(2) ,由得.当x变化时,﹑的变化情况

注意到,从而

①当,此时无极小值；

②当的极小值为,此时无极大值；

③当既无极大值又无极小值.

例6．已知函数有三个极值点。

(1)证明：；

(2)若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。

解：(1)因为函数有三个极值点, 所以有三个互异的实根.设则

当时， 在上为增函数；当时， 在上为减函数；当时， 在上为增函数，

所以函数在时取极大值,在时取极小值。

当或时,最多只有两个不同实根。

因为有三个不同实根, 所以且，

即,且，解得且故.

(2)由(1)的证明可知，当时, 有三个极值点.

不妨设为()，则

所以的单调递减区间是,

若在区间上单调递减，则, 或,

若,则.由(I)知，,于是

若,则且.由(I)知，

又当时，;

当时，.因此, 当时，所以且

即故或反之, 当或时，总可找到使函数在区间上单调递减。综上所述, 的取值范围是.

变式：

已知=3是函数的一个极值点。

(1)求函数的单调区间；

(2)若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。

解：(1)

有　 令

		1	(1，3)	3
	+	0	-	0	+
		极大值		极小值

∴由上表可知，的单调递增区间为，其单调减区间为(1，3)

(2)由(1)知，若直线的图象有3个交点则。

例4．设函数。

(1) 如果，点为曲线上一个动点，求以为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；

(2) 若时，恒成立，求的取值范围。

解：(1) 设切线斜率为，则 当时，取最小值-4，

又， 所以，所求切线方程为，即 　

(2)　 由，解得：或。

函数在和上是增函数，在上是减函数。

所以　 　或 　或 　解得 　

故的取值范围是。

例5．已知函数在处取得极值，曲线过原点和点P(-1，2)，若曲线在P处的切线与直线的夹角为，且的倾斜角为钝角.　

(1)求的解析式；

(2)若在区间上是增函数，求实数的取值范围；

(3)若，求证：．

解：(1) 曲线过原点， 且是的极值点，

，过点P(-1，2)的切线的斜率为，

由夹角公式得：

切线的倾斜角为钝角，舍去．

由　 　　故

(2)，令即

的增区间为在区间上是增函数，

　；

(3)令，，

在区间[-1，1]上的最大值M为4，最小值N为0，

故对任意，有

变式：

设函数，其中．

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)若函数仅在处有极值，求的取值范围；

(3)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

解：(1)．

当时，．

令，解得，，．当变化时，，的变化情况如下表：

	↘	极小值	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在，内是增函数，在，内是减函数．

(2)，显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．

解此不等式，得．这时，是唯一极值．因此满足条件的的取值范围是．

(3)由条件可知，从而恒成立．

当时，；当时，．

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当即在上恒成立．所以，因此满足条件的的取值范围是．

例3．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

解：设长方体的宽为(m)，则长为 (m)，高为.

故长方体的体积为

从而令，解得(舍去)或，因此.

当时，；当时，，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值，从而最大体积，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m

变式：

某公司为获更大收益，每年要投入一定资金用于广告促销，经调查，若每年投广告费(百万元)，可增加销售额约为(百万元). .

(1)若公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费才能使公司由此获得收益最大？

(2)现公司准备共投入3百万元分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改进费百万元，可增加销售额约百万元.请设计一种资金分配方案，使该公司由此获得最大收益.(注：收益＝销售额－成本)

解：(1)设投入广告费t百万元，则收益。

∴时，.∴应投入2百万元广告费，由此获得收益最大。

(2)投入广告费百万元，则收益

当时，.　∴当投入技术改造2百万元、广告费1百万元时，公司收益最大。

例1．已知函数，．

(1)讨论函数的单调区间；(2)设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

解：(1)求导得

当时，，，在上递增；

当，求得两根为，

即在递增，递减， 递增。

(2)，且，解得。

例2．已知定义在R上的函数 是实数.

(1)若函数在区间上都是增函数，在区间(－1，3)上是减函数，并且求函数的表达式；

(2)若，求证：函数是单调函数．

　解：(1)由

又由于在区间上是增函数，在区间(－1，3)上是减函数，所以

－1和3必是的两个根，从而

又根据

(2)因为为二次三项式，并且，当恒成立，此时函数是单调递增函数；当恒成立，此时函数是单调递减函数，因此对任意给定的实数a，函数总是单调函数。

变式：

已知在R上是减函数，求的取值范围。

解：函数的导数为。对于都有时，为减函数。由可得，解得。

当时函数在R上是减函数；当时，，由函数在R上的单调性，可知当时函数在R上是减函数；当时函数在R上存在增区间。综上的取值范围是。

函数、导数和不等式这三部分内容都是高考考查的重点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题。纵观近年的高考试题，对函数的主干知识，函数知识的综合应用，函数与导数、不等式的结合，利用导数研究函数的单调性、求函数的极值和最值等内容是本专题考查的重点，而本专题命题的热点主要是函数的图像与性质，以函数为背景的方程、不等式问题，以函数为模型运用导数解决的应用问题等几个方面。

14．设函数， ， 将的最小值记为．

(1)求的表达式；

(2)讨论在区间[-1，1]内的单调性；

(3) 若当时，恒成立，其中为正数，求的取值范围．

13．已知函数的图像与函数的图象相切，记

(1)求实数b的值及函数F(x)的极值；

(2)若关于x的方程F(x)= k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.

12．已知为实数,函数.

(1)若函数的图象上有与轴平行的切线,求的取值范围；

　(2)若,对任意,不等式恒成立，求的最小值.