摘要：例4．设函数. (1) 如果.点为曲线上一个动点.求以为切点的切线斜率取最小值时的切线方程, (2) 若时.恒成立.求的取值范围. 解:(1) 设切线斜率为.则 当时.取最小值-4. 又. 所以.所求切线方程为.即 (2) 由.解得:或. 函数在和上是增函数.在上是减函数. 所以 或 或 解得 故的取值范围是. 例5．已知函数在处取得极值.曲线过原点和点P.若曲线在P处的切线与直线的夹角为.且的倾斜角为钝角. (1)求的解析式, (2)若在区间上是增函数.求实数的取值范围, (3)若.求证:． 解:(1) 曲线过原点. 且是的极值点. .过点P的切线的斜率为. 由夹角公式得: 切线的倾斜角为钝角.舍去． 由 故 (2).令即 的增区间为在区间上是增函数. , (3)令.. 在区间[-1.1]上的最大值M为4.最小值N为0. 故对任意.有 变式: 设函数.其中． (1)当时.讨论函数的单调性, (2)若函数仅在处有极值.求的取值范围, (3)若对于任意的.不等式在上恒成立.求的取值范围． 解:(1)． 当时.． 令.解得..．当变化时..的变化情况如下表: ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在.内是增函数.在.内是减函数． (2).显然不是方程的根． 为使仅在处有极值.必须恒成立.即有． 解此不等式.得．这时.是唯一极值．因此满足条件的的取值范围是． (3)由条件可知.从而恒成立． 当时.,当时.． 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者． 为使对任意的.不等式在上恒成立.当且仅当即在上恒成立．所以.因此满足条件的的取值范围是．

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