4．A∪B＝A
A∩B＝A
|
例1. 设全集
，
方程
有实数根
，
方程
有实数根，求
.
解：当
时，
，即
；
当
时，
即
，且 ∴，
∴
而对于
，
即
，∴
.
∴
变式训练1.已知集合A=
B=
(1)当m=3时，求
；
(2)若A
B
，求实数m的值.
解： 由
得
∴-1＜x≤5,∴A=
.
(1)当m=3时，B=
，则
=
，
∴=
.
(2)∵A=
∴有42-2×4-m=0,解得m=8.
此时B=
,符合题意，故实数m的值为8.
例2. 已知
,
或
.
(1)若
,求
的取值范围;
(2) 若
,求的取值范围.
解:(1),
∴
，解之得
.
(2) ,
∴
. ∴
或
， 
或
∴若,则的取值范围是
；若
,则的取值范围是
.
变式训练2：设集合A=
B
(1)若A
B
求实数a的值；
(2)若A
B=A，求实数a的取值范围；
(3)若U=R，A(
)=A.求实数a的取值范围.
解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=
(1)∵AB∴2
B，代入B中的方程，
得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;
当a=-1时，B=
满足条件；
当a=-3时，B=
满足条件；
综上，a的值为-1或-3.
(2)对于集合B，
=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).
∵AB=A，∴B
A,
①当＜0,即a＜-3时，B=
，满足条件；
②当=0，即a=-3时，B，满足条件；
③当＞0，即a＞-3时，B=A=才能满足条件，
则由根与系数的关系得
即
矛盾；
综上，a的取值范围是a≤-3.
(3)∵A()=A，∴A，∴A
①若B=，则＜0
适合；
②若B≠，则a=-3时，B=
，AB=，不合题意；
a＞-3，此时需1
B且2B，将2代入B的方程得a=-1或a=-3(舍去)；
将1代入B的方程得a2+2a-2=0
∴a≠-1且a≠-3且a≠-1
综上，a的取值范围是a＜-3或-3＜a＜-1-
或-1-＜a＜-1或-1＜a＜-1+或a＞-1+.
例3. 已知集合A=
B
，试问是否存在实数a，使得AB
若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
解:方法一
假设存在实数a满足条件AB=则有
(1)当A≠时，由AB=，B
，知集合A中的元素为非正数，
设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得
(2)当A=时，则有
=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a＜0.
综上(1)、(2)，知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是(-4，+∞).
方法二 假设存在实数a满足条件AB≠，则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1，x2至少有一个为正，
因为x1·x2=1＞0，所以两根x1,x2均为正数.
则由根与系数的关系，得
解得
又∵集合
的补集为
∴存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是(-4，+∞).
变式训练3.设集合A={(x,y)|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*}，问是否存在非零整数a,使A∩B≠？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.
解：假设A∩B≠，则方程组
有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.
由Δ≥0，有(a+2)2-4a(a+1)≥0,解得-
.因a为非零整数，∴a=±1，
当a=-1时，代入(*)， 解得x=0或x=-1,
而x∈N*.故a≠-1.当a=1时，代入(*),
解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A∩B≠,
此时A∩B={(1，1)，(2，3)}.
|
ax+a2+a+2＝0，x∈R}，是否存在实数a，使得AB＝
?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．
解：1<a<2即实数
(1，2)时，
＝．
变式训练4.设集合
为函数
的定义域,集合
为函数
的值域,集合
为不等式
的解集.(1)求
；(2)若
,求的取值范围．
解：(1)解得A=(-4，2)， B=
。 所以
|
<0
，
，
＝
，
＝
，
．