10、(2010年浙江省绍兴市) (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,
CD上,AE,BF交于点O,∠AOF=90°.
求证:BE=CF.
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(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,
BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°, EF
=4.求GH的长.
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(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,
∠FOH=90°,EF=4. 直接写出下列两题的答案:
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长;
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
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[答案]
(1) 证明:如图1,∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,
∴ ∠EAB+∠AEB=90°.
∵ ∠EOB=∠AOF=90°,
∴ ∠FBC+∠AEB=90°,∴ ∠EAB=∠FBC,
∴ △ABE≌△BCF , ∴ BE=CF.
(2) 解:如图2,过点A作AM//GH交BC于M,
过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/,
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形,
∴ EF=BN,GH=AM,
∵ ∠FOH=90°, AM//GH,EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,
故由(1)得, △ABM≌△BCN, ∴ AM=BN,
∴ GH=EF=4.
(3) ① 8.② 4n.