12．(学军中学2008-2009学年上学期高三期中数学试题(理))(14分)已知二次函数.　　　　　　　　　

(1)若，试判断函数零点个数；　　　 (第11题图)

　(2)是否存在，使同时满足以下条件①对，且；②对,都有。若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

解：(1)　

当时，

函数有一个零点；当时，，函数有两个零点。……6分

　(2)假设存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，且

∴

由②知对,都有

令得

由得，

当时，，其顶点为(－1，0)满足条件①，又对,都有，满足条件②。∴存在，使同时满足条件①、②。……………………………14分

11.(绍兴市2008学年第一学期统考数学试题)已知函数，

(1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象；

(2)写出的单调递增区间.

解析：(1)函数的图象如图所示：

(2)函数的单调递增区间为

10.(2009年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题(文))(本题15分)已知函数．

(Ⅰ)当a=3时，求f(x)的零点；

(Ⅱ)求函数y＝f (x)在区间 [ 1,2 ] 上的最小值．

解：(Ⅰ) 由题意,

由，解得 或;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　--- 4分

(Ⅱ) 设此最小值为，而

(1)当时，

则是区间[1,2]上的增函数, 所以;　　　　　　　　　　 --- 3分

(2)当时，

在时，

在时，　　　 　--- 3分

① 当，即时，;

② 当，即时，

③ 当时，.

综上所述，所求函数的最小值.　　　　　　　　　　 --- 5分

9. (2009年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题(文))(本题14分)设是定义在上的奇函数，且当时，．

(Ⅰ) 求时，的表达式；

(Ⅱ) 令，问是否存在，使得在x = x₀处的切线互相平行？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．

解：(Ⅰ) 当时，，

　　 ;　　　　　　　　　　　　　　　　　 　--- 6分

(Ⅱ)若在处的切线互相平行，则,　　　 　　　　--- 4分

，解得,

∵x > 0 , 得．　　　　　　　　　　　　　　　 --- 4分

8. (2008-2009学年上学期期中高三数学试题(文))(14分)设函数 (a>0)

　 (1)求函数的单调区间，极大值,极小值

　(2)若时,恒有>,求实数a的取值范围

解：(1)

　　　 …………………………2分

　 　　令

x	(-,-a)	-a	(-a,3a)	3a	(3a,+)
y	+	0	－	0	+
y	增	极大值	减	极小值	增

　　　　 减区间为 (-a，3a)

…………………..8分

(2)

……………………11分

只需

…………………………………..14分

7．(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题(文))(15分)设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，且在x＝－1处取得极值．

(Ⅰ)求a，，的值；

(Ⅱ)求函数在上的最大值和最小值。

解: (Ⅰ)∵为奇函数，∴

即

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ----------------------1分

∵的最小值为，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -----------3分

又直线的斜率为

因此，　　　　　　　　　　　　　　　　 ------------5分

∴，，．　　　　　　　　　　　　　　 -------------7分

(Ⅱ)．

　　，列表如下：

		极大		极小

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -----------11分

∵，，

∴在上的最大值是，最小值是．　 ---------15分

6．(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题(理))(本小题满分14分) 已知函数上是增函数.

　 (I)求实数a的取值范围；

　 (II)在(I)的结论下，设，求函数的最小值．

解：(I) …………………………………………… 2分

　　 所以 ……………………………………………………………………7分

　 (II)设　　 ……8分

　　 当 　…………………………10分

　　 　　…………………………………………11分

　　 当

　　 　……………………………………13分

　　 所以，当

的最小值为……………………………………………… 14分

5．(宁波市2008学年度第一学期高三期末数(理))(本题14分)已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

(1)求证：为关于的方程的两根；

(2)设，求函数的表达式；

(3)在(2)的条件下，若在区间内总存在个实数(可以相同)，使得不等式成立，求的最大值．

解：(1)由题意可知：

∵　 ，　　　 ……2分

　∴切线的方程为：，

又切线过点， 有，

即，　 ①　 　

同理，由切线也过点，得．②

由①、②，可得是方程( * )的两根……5分

(2)由( * )知.

，

∴ ．……………………9分

(3)易知在区间上为增函数，

，　　　　　　　　

则．…11分

即，即，

所以，由于为正整数，所以.

又当时，存在，满足条件，所以的最大值为.　　　　　　　　　　　　　 ……………14分

4．(学军中学2008-2009学年上学期高三期中数学试题(理))( 14分)设函数

　 (1)

　(2)是否存在实数m，使函数恰有四个不同的零点？若存在求出的m范围；若不存在，说明理由。

解：(1)证明:

　　　 易知F(X)在[0,+∞)为增函数,所以F(X)> F(0)=0,即……………..6分

(2) 　，再由

易得时, 函数恰有四个不同的零点

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………　 14分

3．(宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文))(本题满分14分)已知函数，，设.

(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；

(Ⅱ)若以函数图象上任意一点为切点的切线斜率

恒成立，求实数的最小值.

解：(Ⅰ)由已知可得，函数的定义域为

则　　　　　　

由可得在区间上单调递增,

得在上单调递减　　　　　 ……6分

(Ⅱ)由题意可知对任意恒成立　

即有对任意恒成立，即　

令　　

则，即实数的最小值为；　　　　　　　……14分