2、1、1、伽利略相对性原理

1632年，伽利略发表了《关于两种世界体系的对话》一书，作出了如下概述：

相对任何惯性系，力学规律都具有相同的形式，换言之，在描述力学的规律上，一切惯性系都是等价的。这一原理称为伽利略相对性原理，或经典力学的相对性系原理。其中“惯性系”是指凡是牛顿运动定律成立的参照系。

1．5．3、电容器的充电

如图1-5-2所示，一电动势为U的电源对一电容为C的电容器充电，充电完毕后，电容器所带电量

电容器所带能量

而电源在对电容器充电过程中，所提供的能量为　　

也就是说，在充电过程中，电容器仅得到了电源提供的一半能量，另一半能量在导线和电源内阻上转化为内能，以及以电磁波的形式发射出去。

例7、用N节电动势为的电池对某个电容器充电，头一次用N节电池串联后对电容器充电；第二次先用一节电池对电容器充电，再用两节串联再充一次，再用三节串联再充……直到用N节串联充电，哪一种方案消耗电能多？

解： 第一次电源提供的能量，电容器储能，

消耗的能量　　　　　　　　 。

第二次充电时，电容器上电量从0→Q₁→Q₂→Q₃……而

电源每次提供能量为

…………

消耗的能量　

显然，前一种方案消耗能量多，实际上，头一种方案电源搬运电量Q全部是在电势差条件下进行的。第二种方案中，只有最后一次搬运电量是在电势差下进行的，其余是在小于下进行的。

1．5．2、　　　 电场的能量

由公式，似乎可以认为能量与带电体的电量有关，能量是集中在电荷上的。其实，前面只是根据功能关系求得带电导体的静电能，并未涉及能量的分布问题。由于在静电场范围内，电荷与电场总是联系在一起的，因此电能究竟与电荷还是与电场联系在一起，尚无法确定。以后学习了麦克斯韦的电磁场理论可知，电场可以脱离电荷而单独存在，并以有限的速度在空间传播，形成电磁波，而电磁波携带能量早已被实践所证实。因此我们说，电场是电能的携带者，电能是电场的能量。下面以平行板电容器为例，用电场强度表示能量公式。

单位体积的电场能量称为电场的能量密度，用来表示

上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，该处的能量密度即可求出，而整个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得。

1．5．1、　 带电导体的能量

一带电体的电量为Q，电容为C，则其电势。我们不妨设想带电体上的电量Q，是一些分散在无限远处的电荷，在外力作用下一点点搬到带电体上的，因此就搬运过程中，外力克服静电场力作的功，就是带电体的电能。该导体的电势与其所带电量之间的函数关系如图1-5-1所示，斜率为。设每次都搬运极少量的电荷，此过程可认为导体上的电势不变，设为，该过程中搬运电荷所做的功为，即图中一狭条矩形的面积(图中斜线所示)因此整个过程中，带电导体储存的能量为

其数值正好等于图线下的许多小狭条面积之和，若取得尽可能小，则数值就趋向于图线下三角形的面积。

上述带电导体的静电能公式也可推广到带电的电容器，因为电容器两板间的电势差与极板上所带电量的关系也是线性的。

1．4．3、　 电容器的连接

电容器的性能有两个指标；电容和耐压值。在实际应用时，当这两个指标不能满足要求时，就要将电容器串联或并联使用。

(1)串联

几个电容器，前一个的负极和后一个的正极相连，这种连接方式称为电容器的串联。充电后各电容器的电量相同，即…=；第一个电容器的正极与第n个电容器的负极之间的电U为各电容器电压之和，即，因此电容器串联可以增大耐压值。用一个电量为Q，电压为U的等效电容来代替上述n个串联的电容器，则电容为

(2)并联

把n个电容器的正极连在一起，负极连在一起，这种连接方式称为电容器的并联。充电后正极总电量Q等于各电容器正极电量之和，即；正极和负极之间的电压U等于各电容器的电压，即。

用一个电量为Q、电压为U的等效电容器代替上述几个并联的电容器，则电容为

§1、5 静电场的能量

1．4．2、几种常用电容器的电容

(1)平行板电容器　 若两金属板平行放置，距离d很小，两板的正对面积为S、两极板间充满相对介电常数为的电介质，即构成平行板电容器。

设平行板电容器带电量为Q、则两极板间电势差

故电容　　　　　　　　 　　

(2)真空中半径为R的孤立导体球的电容

由公式可知，导体球的电势为：

因此孤立导体球的电容为

地球半径很大，电容很大，容纳电荷的本领极强。

(3)同轴圆柱形电容器

高H、半径的导体圆柱外，同轴地放置高也为H、内半径为

＞的导体筒，当H时，便构成一个同轴圆柱形电容器。如果-，则可将它近似处理为平行板电容器，由公式可得其电容为

(4)同心球形电容器

半径为的导体球(或球壳)和由半径为的导体球壳同心放置，便构成了同心球形电容器。

若同心球形电容器内、外球壳之间也充以介电常数为的电介质，内球壳带电量为Q，外球壳带 -Q电荷，则内、外球壳之间的电势差为

故电容

当时，同心球形电容器便成为孤立导体(孤立导分是指在该导体周围没有其他导体或带电体，或者这些物体都接地)球形电容器，设，则其电容为

若孤立导体外无电介质，则，即。

例8、如图2-4-1所示，两个竖直放置 的同轴导体薄圆筒，内筒半径为R，两筒间距为d，筒高为L，内筒通过一个未知电容的电容器与电动势U足够大的直流电源的

正极连接，外筒与该电源的负极相连。在两筒之间有相距为h的A、B两点，其连线AB与竖直的筒中央轴平行。在A点有一质量为m、电量为-Q的带电粒子，它以的初速率运动，且方向垂直于由A点和筒中央轴构成的平面。为了使此带电粒子能够经过B点，试求所有可供选择的和值。

分析：　 带电粒子从A点射出后，受到重力和筒间电场力的作用。重力竖直向下，使带电粒子在竖直方向作自由落体运动；电场力的方向在垂直筒中央轴的平面内，沿径向指向中央轴。为了使带电粒子能通过B点，要求它在垂直中央轴的平面内以R为半径作匀速圆周运动，这就要求电场力能提供适当的向心力，即对有一定要求。为了使带电粒子经过B点，还要求它从A点沿AB到达B点的时间刚好等于带电粒子作圆周运动所需时间的整数倍，亦即对圆周运动的速度有一定的要求。

解： 　带电粒子重力作用下，从A点自由下落至B点所需的时间为

带电粒子在垂直于筒中央轴的平面内，作匀速圆周运动一圈所需的时间为

为了使带电粒子经过B点，要求

……

由以上三式，得

……

带电粒子作匀速圆周运动(速率，半径R)所需的向心力由电场力提供，电场力为

此电场力由内外筒之间的电场提供。因，近似认为内外筒构成平行板电容器，其间是大小相同的径向电场E，设内外筒电势差为，则带电粒子所受电场力应为

由以上两式，得

代入，得

　　 ……

因为内、外筒电容器与串联，故有

解得

由公式可知，同轴圆柱形电容器电容

代入，得

　　 ……

这就是全部可供选择的。

1．4．1、　 电容器的电容

电容器是以电场能的形式储存电能的一种装置，与以化学能储存电能的蓄电池不同。

任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体，都可以看成是一个电容器，电容器所带电荷Q与它两板间电势差U的比值，叫做电容器的电容，记作C，即

电容的意义就是每单位电势差的带电量，显然C越大，电容器储电本领越强，而电容是电容器的固有属性，仅与两导体的形状、大小位置及其间电介质的种类有关，而与电容器的带电量无关。

电容器的电容有固定的、可变的和半可变的三类，按极片间所用的电介质，则有空气电容器、真空电容器、纸质电容器、陶瓷电容器、涤纶电容器、云母电容器、电解电容器等。

每个电容器的型号都标明两个重要数值：电容量和耐压值(即电容器所承受的最大电压，亦称击穿电压)。

1．3．3．　 电像法

电像法的实质在于将一给定的静电场变换为另一易于计算的等效静电场，多用于求解在边界面(例如接地或保持电势不变的导体)前面有一个或一个以上点电荷的问题，在某些情况下，从边界面和电荷的几何位置能够推断：在所考察的区域外，适当放几个量值合适的电荷，就能够模拟所需要的边界条件。这些电荷称为像电荷，而这种用一个带有像电荷的、无界的扩大区域，来代替有界区域的实际问题的方法，就称为电像法。例如：

①一无限大接地导体板A前面有一点电荷Q，如图1-3-5所示，则导体板A有(图中左半平面)的空间电场，可看作是在没有导体板A存在情况下，由点电荷Q与其像电荷-Q所共同激发产生。像电荷-Q的位置就是把导体板A当作平面镜时，由电荷Q在此镜中的像点位置。于是左半空间任一点的P的电势为

式中和分别是点电荷Q和像电荷-Q到点P的距离，并且

，此处d是点电荷Q到导体板A的距离。

电像法的正确性可用静电场的唯一性定理来论证，定性分析可从电场线等效的角度去说明。

②一半径为r的接地导体球置于电荷q的电场中，

点电荷到球心的距离为h，球上感应电荷同点电荷q之间的相互作用也可以用一像电荷替代，显然由对称性易知像电荷在导体球的球心O与点电荷q的连线上，设其电量为，离球心O的距离为，如图1-3-6所示，则对球面上任一点P，其电势

整理化简得

要使此式对任意成立，则必须满足

解得　　　　　　　　 　

③对(2)中情况，如将q移到无限远处，同时增大q，使在球心处的电场保持有限(相当于匀强电场的场强)，这时，像电荷对应的无限趋近球心，但保持有限，因而像电荷和在球心形成一个电偶极子，其电偶极矩。

无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场可看作是均匀的，因此一个绝缘的金属球在匀强电场中受感应后，它的感应电荷在球外空间的作用相当于一个处在球心，电偶极矩为的电偶极子。

例6、在距离一个接地的很大的导体板为d的A处放一个带电量为的点电荷(图1-3-7)。　　　

(1)求板上感应电荷在导体内P点()产生的电场强度。

(2)求板上感应电荷在导体外点产生的电场强度，已知点与P点以导体板右表面对称。

(3)求证导体板表面化的电场强度矢量总与导体板表面垂直。

(4)求导体板上感应电荷对电荷的作用力，

(5)若切断导体板跟地的连接线，再把电荷置于导体板上，试说明这部分电荷在导体板上应如何分布才可以达到静电平衡(略去边缘效应)。

分析：　 由于导体板很大且接地，因此只有右边表面才分布有正的感应电荷，而左边接地那一表面是没有感电荷的。静电平衡的条件是导体内场强为零，故P点处的场强为零，而P点处的零场强是导体外及表面电荷产生场强叠加的结果。

解：　 (1)因为静电平衡后导体内部合场强为零，所以感应电荷在P点的场强和在P点的场强大小相等，方向相反，即

方向如图1-3-8乙，是到P点的距离。

(2)由于导体板接地，因此感应电荷分布在导体的右边。根据对称原理，可知感应电荷在导体外任意一点处场生的场强一定和感应电荷在对称点处产生的场强镜像对称(如图1-3-8丙)，即，而，式中为到的距离，因此，方向如图1-3-8丙所示。

(3)根据(2)的讨论将取在导体的外表面，此处的场强由和叠加而成(如图1-3-8丁所示)，不难看出，这两个场强的合场强是垂直于导体表面的。

(4)在导体板内取一点和所在点A对称的点，的场强由和叠加而为零。由对称可知，A处的和应是大小相等，方向相反的(如图1-3-8戍)，所以所受的电场力大小为

方向垂直板面向左。

(5)因为和在导体内处处平衡，所以+Q只有均匀分布在导体两侧，才能保持导体内部场强处处为零。

从以上(2)、(3)、(4)的分析中可看出：导体外部的电场分布与等量异种电荷的电场分布完全相似，即感应电荷的作用和在与A点对称的位置上放一个的作用完全等效，这就是所谓的“电像法”。

§1、4　 电容器

1．3．2、　 电介质及其极化

①电介质

电介质分为两类：一类是外电场不存在时，分子的正负电荷中心是重合的，这种电介质称为非极性分子电介质，如、等及所有的单质气体；另一类是外电场不存在时，分子的正负电荷中心也不相重合，这种电介质称为极性分子电介质，如、等。对于有极分子，由于分子的无规则热运动，不加外电场时，分子的取向是混乱的(如图1-3-2)，因此，不加外电场时，无论是极性分子电介质，还是非极性分子电介质，宏观上都不显电性。

②电介质的极化

当把介质放入电场后，非极性分子正负电荷的中心被拉开，分子成为一个偶极子；极性分子在外电场作用下发生转动，趋向于有序排列。因此，无论是极性分子还是非极性分子，在外电场作用下偶极子沿外电场方向进行有序排列(如图1-3-3)，在介质表面上出现等量异种的极化电荷(不能自由移动，也不能离开介质而移到其他物体上)，这个过程称为极化。

极化电荷在电介质内部产生一个与外电场相反的附加电场，因此与真空相比，电介质内部的电场要减弱，但又不能像导体一样可使体内场强削弱到处处为零。减弱的程度随电介质而不同，故物理上引入相对介电常数来表示电介质的这一特性，对电介质均大于1，对真空等于1，对空气可近似认为等于1。

真空中场强为的区域内充满电介质后，设场强减小到E，那么比值就叫做这种电介质的介常数，用表示，则

引入介电常数后，极化电荷的附加电场和总电场原则上解决了。但实际上附加电场和总电场的分布是很复杂的，只有在电介质表现为各向同性，且对称性极强的情况下，才有较为简单的解。如：

点电荷在电介质中产生的电场的表达式为：

电势的表达式为：　　　　　

库仑定律的表达式为：　　　

例5、有一空气平行板电容器，极板面积为S，与电池连接，极板上充有电荷和，断开电源后，保持两板间距离不变，在极板中部占极板间的一半体积的空间填满(相对)介电常数为的电介质，如图1-3-4所示。求：

(1)图中极板间a点的电场强度？

(2)图中极板间b点的电场强度？

(3)图中与电介质接触的那部分正极板上的电荷？

(4)图中与空气接触的那部分正极板上的电荷？　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　

(5)图中与正极板相接触的那部分介质界面上的极化电荷？

解： 　设未插入电介质时平行板电容器的电容为，则

(1)

(2)

(3)

(4)

　(5)因故

解得　　　　　　

负号表示上极板处的极化电荷为负。

1．3．1、　　 静电感应、静电平衡和静电屏蔽

①静电感应与静电平衡

把金属放入电场中时，自由电子除了无规则的热运动外，还要沿场强反方向做定向移动，结果会使导体两个端面上分别出现正、负净电荷。这种现象叫做“静电感应”。所产生的电荷叫“感应电荷”。由于感应电荷的聚集，在导体内部将建立起一个与外电场方向相反的内电场(称附加电场)，随着自由电荷的定向移动，感应电荷的不断增加，附加电场也不断增强，最终使导体内部的合场强为零，自由电荷的移动停止，导体这时所处的状态称为静电平衡状态。

处于静电平衡状态下的导体具有下列四个特点：

(a)导体内部场强为零；

(b)净电荷仅分布在导体表面上(孤立导体的净电荷仅分布在导体的外表面上)；

(c)导体为等势体，导体表面为等势面；

(d)电场线与导体表面处处垂直，表面处合场强不为0。

②静电屏蔽

静电平衡时内部场强为零这一现象，在技术上用来实现静电屏蔽。金属外壳或金属网罩可以使其内部不受外电场的影响。如图1-3-1所示，由于感应电荷的存在，金属壳外的电场线依然存在，此时，金属壳的电势高于零，但如图把外壳接地，金属壳外的感应电荷流入大地(实际上自由电子沿相反方向移动)，壳外电场线消失。可见，接地的金属壳既能屏蔽外场，也能屏蔽内场。

在无线电技术中，为了防止不同电子器件互相干扰，它们都装有金属外壳，在使用时，这些外壳都必须接地，如精密的电磁测量仪器都装有金属外壳，示波管的外部也套有一个金属罩就是为了实现静电屏蔽，高压带电作用时工作人员穿的等电势服也是根据静电屏蔽的原理制成。