12.

(1) 已知动点到点与到直线的距离相等，求点的轨迹的方程；

(2) 若正方形的三个顶点，，()在(1)中的曲线上，设的斜率为，，求关于的函数解析式；

(3) 求(2)中正方形面积的最小值．

解：(1) 由题设可得动点的轨迹方程为．　　　 ………………4分

　　　 (2) 由(1)，可设直线的方程为：，

消得，

易知、为该方程的两个根，故有，得，

从而得，　 ……………………6分

类似地，可设直线的方程为：，

从而得，　　　　　　　　 ……………………8分

由，得，

解得，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

．　　 ……………………10分

　(3) 因为，……………………12分

　　　 所以，即的最小值为，

当且仅当时取得最小值．……………………14分

11.如图，已知椭圆：过点F(4，0)作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N。

　 (1)线段MN是否恒过一个定点？如果经过定点，试求出它的坐标，如果不经过定点，试说明理由；

　 (2)求分别以AB，CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程。

解：(1)设直线AB的方程为：并整理得：

设，则有：

所以点　　　　　　　　　　　 …………3分

，∴将t换成，即得： …………4分

由两点式得直线MN的方程为

当y=0时，所以直线MN恒过定点。　　　　　　　　 …………6分

　 (2)以弦AB为直径的圆M的方程为：

①　　 …………8分

又将t换成，即得以弦CD为直径的圆N的方程为：

②　　　　　 …………10分

①-②得两圆公共弦所在直线方程为：③

又直线MN的方程为：④　　　　　　　　　　　　　 …………12分

联解③④，消去，得两圆公共弦中点的轨迹方程为：

。

其轨迹是过定点的圆。　　　　　　　　　　　 …………14分

7.已知函数

(1)若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；

(2)若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

(3)设各项为正的数列满足：求证：

解：(1)

依题意在时恒成立，即在恒成立.

则在恒成立，即

当时，取最小值

∴的取值范围是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……

(2)

设则列表：

	­	极大值	¯	极小值	­

_{∴极小值，极大值，又}　 ……

方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.　　

则，　 得 　　　　　　　　　　　　　　　　　…………

(3)设，则

在为减函数，且故当时有.

假设则，故

从而

即，∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………

8已知．

(1)求函数的图像在处的切线方程；

(2)设实数，求函数在上的最小值；

(3)证明对一切，都有成立．

解：(1)定义域为　　 　　又

函数的在处的切线方程为：，即 ……3分

(2)令得　　 当，，单调递减，当，，单调递增． …………5分

(i)当时，在单调递增，，…………6分

(ii)当即时，…………7分

(iii)当即时，在单调递减，………………8分

(3)问题等价于证明，　

由(2)可知的最小值是，当且仅当时取得最小值……10分

设，则，

当时，单调递增；当时单调递减。故，当且仅当时取得最大值…………12分

所以且等号不同时成立，即

从而对一切，都有成立．…………13分

9已知曲线在点处的切线方程为，其中．

(1)　　　 求关于的表达式；

(2)　　　 设，求证：；

(3)　　　 设，其中，求证：．

(1)故所求切线方程为，即

……………3分

(2)……5分

当时，左边右边，不等式成立；……6分

当时，

　　　 …………8分

(3)，……10分

所以

…………12分

…………14分

10已知数列中，a₁=1，且满足递推关系

　 (1)当m=1时，求数列的通项

　 (2)当时，数列满足不等式恒成立，求m的取值范围；

　 (3)在时，证明

解：(1)m=1，由，得：

是以2为首项，公比也是2的等比例数列。

于是　　　　　　　　　　　　　　 …………3分

　 (2)由

依题意，有恒成立。

，即满足题意的m的取值范围是…………7分

　 (3)时，由(2)知

设数列

故　　　　　　　　　　　 …………9分

即在成立

6.如图，设抛物线的准线与轴交于，焦点为；以为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的交点为，延长交抛物线于点，是抛物线上一动点，且M在与之间运动.

(1)当时，求椭圆的方程；

(2)当的边长恰好是三个连续的自然数时，求面积的最大值．

. 解：(1)当时， ，则

设椭圆方程为，则又，所以

所以椭圆C₂方程为 　　　　　　　　　　　　　　　　　…………

(2)因为，，则，，设椭圆方程为

由，得　　　　　　　　　 …………

即，得代入抛物线方程得，即

,，

因为的边长恰好是三个连续的自然数，所以　　　　 …………

此时抛物线方程为，，直线方程为：.

联立，得，即，

所以，代入抛物线方程得，即

∴.

设到直线PQ的距离为 ，

则　　　　　　　　　　　　 …………

当时，，

即面积的最大值为.…………

5.已知数列中，，当时，其前项和满足，

(1)　　　 求的表达式及的值；

(2)　　　 求数列的通项公式；

(3)　　　 设，求证：当且时，。

解：(1)

所以是等差数列。则。。

(2)当时，，综上，。

(3)令，当时，有　　　　 (1)

法1：等价于求证。

当时，令

，则在递增。

又，所以即。

法(2)

　　　　　　　 　　　　　　　　(2)

　　　　 (3)

因

所以

由(1)(3)(4)知。

法3：令，则

所以

因则　　

所以　　 (5)　　 由(1)(2)(5)知

4.在数列

(1)求证：数列为等差数列；

(2)若m为正整数，当

解：(I)由变形得：

故数列是以为首项，1为公差的等差数列　　　　　　 (5分)

　 (II)(法一)由(I)得

(7分)

令

当

又

则为递减数列。

当m=n时，

递减数列。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

要证：时，

故原不等式成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)

(法二)由(I)得

　　 (7分)

令

上单调递减。(9分)

也即证，

故原不等式成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)

3.设函数在上是增函数。

(1)　　　 求正实数的取值范围；

(2)　　　 设，求证：

解：(1)对恒成立，

对恒成立　　 又　 为所求。…………5分

(2)取，，

一方面，由(1)知在上是增函数，

即……………………………………8分

另一方面，设函数　

∴在上是增函数且在处连续，又

∴当时，

∴　　　 即

综上所述，………………………………………………12分

2.已知函数和的图象关于原点对称，且．

　 (Ⅰ)求函数的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式；

　 (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．

解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则

∵点在函数的图象上

∴

(Ⅱ)由

当时，，此时不等式无解。

当时，，解得。

因此，原不等式的解集为。

(Ⅲ)

①　　

②

ⅰ)

ⅱ)