摘要：如图.已知椭圆:过点F(4.0)作两条互相垂直的弦AB.CD.设弦AB.CD的中点分别为M.N. (1)线段MN是否恒过一个定点?如果经过定点.试求出它的坐标.如果不经过定点.试说明理由, (2)求分别以AB.CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程. 解:(1)设直线AB的方程为:并整理得: 设.则有: 所以点 ----3分 .∴将t换成.即得: ----4分 由两点式得直线MN的方程为 当y=0时.所以直线MN恒过定点. ----6分 (2)以弦AB为直径的圆M的方程为: ① ----8分 又将t换成.即得以弦CD为直径的圆N的方程为: ② ----10分 ①-②得两圆公共弦所在直线方程为:③ 又直线MN的方程为:④ ----12分 联解③④.消去.得两圆公共弦中点的轨迹方程为: . 其轨迹是过定点的圆. ----14分

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