1. 函数自身的对称性探究

　　 高考题回放：(2005年广东卷I)设函数

，，且在闭区间［0，7］上只有

　　 (1)试判断函数的奇偶性；

　　 (2)试求方程在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。

　　 分析：由可得：函数图象既关于x＝2对称，又关于x＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。

　　 定理1　 函数的图像关于直线x＝a对称的充要条件是即

　　 证明(略)

　　 推论　 函数的图像关于y轴对称的充要条件是

　　 定理2　 函数的图像关于点A(a，b)对称的充要条件是

　　 证明(略)

　　 推论　 函数的图像关于原点O对称的充要条件是

　　 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。

　　 定理3　 ①若函数的图像同时关于点A(a，c)和点B(b，c)成中心对称()，则是周期函数，且是其一个周期。

　　 ②若函数的图像同时关于直线成轴对称()，则是周期函数，且是其一个周期。

　　 ③若函数的图像既关于点A(a，c)成中心对称又关于直线x＝b成轴对称()，则是周期函数，且是其一个周期。

　　 以下给出③的证明，①②的证明留给读者。

　　 因为函数的图像关于点A(a，c)成中心对称。

　　 所以代得：

　　 又因为函数的图像关于直线成轴对称。

　　 所以代入(*)得：

　　 得

　　 代入(**)得：

　　 是周期函数，且是其一个周期。

　 例8. 已知函数是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中，且

　　 (1)试求f(x)的解析式；

　　 (2)问函数f(x)的图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

　　 解：知函数是奇函数，，则c＝0

　　 由于，所以，又，又，于是

　　 解得，又

　　 所以b＝1，a＝1

　　 所以

　　 (2)设点(x₀，y₀)存在关于点(1，0)对称点(，y₀)，此两点均在函数的图象上，则

　　 联立以上两式得，即，从而，当时，得；当时，得

　　 即存在点()，()关于点(1，0)对称。

湖南省永州市第一中学(425006)

　 例7. 若，求的值。

　　 解：设，则f(x)是偶函数

　　 则的奇数次方的系数

　　 则

　 例5. 解不等式

　　 解：设，因，则f(x)是偶函数，即f(x)的奇数次方为0，可设，以x＝1代入，得

　　 解得A＝70，即，原不等式可化为：

　　 即

　　 即

　　 因而或x>1

　 例6. (2004年上海卷)设奇函数f(x)的定义域是［-5，5］。当时，f(x)的图象如图1，则不等式f(x)<0的解是______________。

图1

　 　解：根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质，画出函数在区间［-5，5］上的图象如图2，易知不等式的解是。

图2

　 例3. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，。试求此函数的解析式。

　　 解：(1)当x＝0时，，于是；

　　 (2)当x<0时，，则，由于f(x)是定义在R上的奇函数，则

　　 此函数的解析式为

　 例4. 设，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，，求f(x)的表示式。

　　 解：f(x)是奇函数，有；g(x)是偶函数，有，则

　　 即

　　 两式相减得

　 例3. 设(其中a,b,c为常数)，且，试求f(2)的值。

　　 解：设，易证g(x)是奇函数，故

　　 于是

　　 两式相加得：，即

　 例1. 判定函数的奇偶性。

　　 解：函数的定义域满足，即为，函数的图象表示两个点：(-1，0)，(1，0)。其图象既关于原点对称，又关于y轴对称。从而函数f(x)既是奇函数又是偶函数。

5. 数形结合

数形结合是寻找解题切入点的一条重要途径，它是把已知或要求的式子与图形结合起来。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。

例6. 已知(其中)，且是方程的两根()，则实数a、b、、的大小关系为(　　 )

A. 　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　 D.

解析：a，b是方程的两根，在同一坐标系中作出函数的图象如图所示：

　　 答案：A

4. 把握转化

化归与转化的思想方法无处不在，它是寻求问题解决过程中最重要、最活跃的一个环节，是分析、解决问题的有效途径，是数学中最基本、最常用、最重要的思想方法，也是寻找解题切入点的常用方法。

例5. 两条异面直线称为“一对”，则在正方体八个顶点间的所有连线中，成异面直线的共有多少对？

分析：如果以其中一条棱进行分类的话，很难搞清“重”和“漏”，然而我们对以下两题很熟悉：①以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少？②如果两条异面直线称为“一对”的话，一个三棱锥中有多少对异面直线？故可把本题分解成两个熟悉的问题，即考虑一种对应，由于①的答案是个；②的答案是3对，故本题答案为对。

点评：若直接寻找异面直线的对数很繁且易漏，而引入三棱锥通过计算三棱锥的个数，使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一个对应，从而使问题转化为我们所熟悉的问题。

3. 展开联想

对于某些数学问题，从结构上的特点出发，在寻求命题的条件和结论间的逻辑联系时，由此及彼地联想(联想定义、定理或解决过的类似问题等)，常常能启发思维，找到解题的切入点。

例4. 已知是定义在R上的函数，且，，，求的值。

分析：由且，

联想到三角公式

。由的周期为

，猜想可能为周期函数，是它的一个周期。

解：

因此是以8为周期的周期函数。