二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

　　 例5. 如果函数定义在区间上，求的最小值。

　　 解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为(1，1)，图象开口向上。

　　 如图6所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有。当时，函数取得最小值

　　 。

图6

　　 如图7所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值

　　 。

图7

　　 如图8所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值

　　 综上讨论，

图8

　 例6. 设函数的定义域为，对任意，求函数的最小值的解析式。

　　 解：将二次函数配方得：

　　 其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上

　　 若顶点横坐标在区间左侧，则，即。当时，函数取得最小值

　　 若顶点横坐标在区间上，则，即。当时，函数取得最小值

　　 若顶点横坐标在区间右侧，则，即。当时，函数取得最小值

　　 综上讨论，得

　　 二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

　　 例3. 已知，且，求函数的最值。

　　 解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：

　　 二次函数的对称轴方程是

　　 顶点坐标为，图象开口向上

　　 由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。

　　 函数的最小值是，最大值是。

图3

　 例4. 已知二次函数在区间上的最大值为5，求实数a的值。

　　 解：将二次函数配方得，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间上。

　　 若，函数图象开口向下，如图4所示，当时，函数取得最大值5

　　 即

　　 解得

　　 故

图4

　　 若时，函数图象开口向上，如图5所示，当时，函数取得最大值5

　　 即

　　 解得

　　 故

图5

　　 综上讨论，函数在区间上取得最大值5时，

　　 解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。

　　 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

　 例1. 函数在区间上的最大值是_________，最小值是_______。

　　 解：函数是定义在区间上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为(2，2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。

图1

　 例2. 已知，求函数的最值。

　　 解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。

图2

　　 解后反思：已知二次函数(不妨设)，它的图象是顶点为、对称轴为、开口向上的抛物线。由数形结合可得在上的最大值或最小值：

　　 (1)当时，的最小值是的最大值是中的较大者。

　　 (2)当时

　　 若，由在上是增函数

　　 则的最小值是，最大值是

　　 若，由在上是减函数

　　 则的最大值是，最小值是

有些数学问题具有一定的迷惑性，如果概念不清，见识不广，就容易混淆，错误地将不同问题混为一谈了。所以通过反思形相似，但质不同的题目，能够提高辨别能力，避免错解的发生，这是一种总结性的反思。

例5. 对不等式，分别求满足下列条件的实数a的取值范围；

(1)不等式的解集为；

(2)不等式在上有解；

(3)不等式在上恒成立；

(4)不等式的解集是的子集。

分析：由

当时，无解，原不等式解集为空集；当时，原不等式解集为(0，)

则(1)必须且只须时，且，故；

(2)必须且只须，则时均适合，即；

(3)必须且只须，且且，则，即；

(4)应有时，，此时或为空集(时)，故

注：上述四个小题常容易混淆，通过反思各种解决方法的不同，弄清了四个不同的概念及相应的解题方案。

总之，解题后注重反思能培养良好的思维品质，既可促进“双基”的掌握，又能加强知识的有效迁移，是提高解题能力的重要途径。

某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效果。

例7. 求的值。

解：设

则

而，故

根据解题需要，可引入一个中间量作为中介，起到过渡作用，使问题得以解决。

例6. 如图3，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥体积分成相等的两部分，求圆锥母线与轴的夹角α。

图3

解：过点A作SO的垂线，垂足为M，可知

∠MAO＝∠AOB＝∠OSB＝α

设MA＝x，OB＝r，SO＝h

则有

化简可得

又因为

即

所以

于是，从而

解题过程中，不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标，经过巧妙构造，活用性质，可直达目标。

例5. 求证

证明:设

则

由可知：数列为单调递增数列。

又

则

即

在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果。

例4. 设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，求证：直线AC经过原点O。

证明：设点A(，)、B(，)，则点C(，)

因为AB过焦点F

所以

得

又直线OC的斜率

直线OA的斜率，则

故A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。

图2

恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决。

例3. 已知对任何满足的实数x、y，如果恒成立，求实数k的取值范围。

解：设()，则

令，得

有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解。

例2. 设a、b均为正数，且，求证。

证明：设，

则u、v同时满足

其中表示直线，m为此直线在v轴上的截距

是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧(如图1)，显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大。

图1

由图易得

即