2. 深挖隐含

隐含条件是指隐而不显，含而不露的已知条件，它们常常巧妙地隐藏在题目的背后，极易被解题者忽视，从而造成错解或繁解，甚至无法解决。优先考虑隐含条件往往能减少运算量，简化或避免复杂的变化与讨论，找到解题切入点，使问题简捷获解。

例2. 已知x，y是实数，且满足，，则_________。

分析：按常规思路是解方程分别求出x和y，而x，y无法求出，思维受阻。若观察题目条件，发现与具有对称性。

若令，则

，。这样使两方程联系起来。

解：令

则

又易知在R上是奇函数，则

，又在R上是增函数，故，即。

例3. 解方程组

分析：此题按常规方法，需要分四种情况，讨论去掉绝对值符号，然后解方程组。但我们观察(2)式可以挖掘出一个隐含条件，利用这个隐含条件可以避免讨论。

解：由(2)知，(1)式可以变形为

由(2)，(3)解得

，分别代入(2)得原方程组的解为

1. 紧扣定义

理解定义、掌握定义、活用定义是解题的一把金钥匙，也是寻找解题切入点的一条重要途径。

例1. 若点M(x，y)满足，则点M的轨迹是(　　 )

A. 圆　　　　　　 B. 椭圆　　　　 C. 双曲线　　　　　　 D. 抛物线

解：由，

得

此式可以看成是动点M(x，y)到定点(-3，1)与到定直线距离之比为的点的轨迹，根据圆锥曲线的定义，此轨迹为双曲线，故选C。

注：本题若移项再平方，可进行化简，但表达式中会出现xy项，对曲线的形状的判断有点难度，通过对原式的合理变形，利用圆锥曲线的定义则能很快解决。

　　 将根式转化为能用三角换元法进行换元求值域。

　　 ∵函数的定义域为。

　　 我们为了将根式转化为能用三角换元法进行换元，使定义域[p，q]与区间[0，1]对应。

　　 ∴(定比分点坐标公式)

　　 ∴消去参数得到，将x用t的代数式代入，

　　 再令

　　 ∴

　　 不妨试一试：

　　 (2005年高中联赛题)使关于x的不等式有解的实数k的最大值是D。

　　 A. 　　　　　　　 B. 　　　　　　　　 C. 　　　　 D.

年级

高中

学科

数学

版本

期数

内容标题

关于函数的最大值的求法

分类索引号

G.622.46

分类索引描述

辅导与自学

主题词

关于函数的最大值的求法

栏目名称

专题辅导

供稿老师

审稿老师

录入

蔡卫琴

一校

陈丽娜

二校

审核

　　 利用连续函数的可导性

　　 ∵

　　 再令，解得

　　 可以证明函数()在()上是增函数，在上是减函数。

　　 在处取得最大值。

　　 ()的最大值为。

　　 利用均值不等式

　　 ∵

　　 ∴

　　 设向量。

　　 ∵

　　　 高考命题强调知识之间的交叉、渗透和综合。因此有许多问题可化归于二次函数问题。

　 例3. 设关于x的一元二次方程有两个实根。求证：，且。

　　　 解析：令

　　　 由，得

　　　 ∴函数的对称轴

　　　 又，所以图象与x轴的交点都在点()的左侧，故，且。

　　　 点评：因此，对于二次函数问题需要掌握解析式、图象和性质的正确使用，选择恰当能使问题轻松解决。

　　　 二次函数的图象及性质是处理二次函数问题的重要依据，正确地把握图象及性质能使问题轻松解决。

　 例2. 设函数，方程的两实根分别为，且。

　　　 (1)证明：也为方程的两根。

　　　 (2)记四次方程的另两根分别为，且，试判断、的大小。

　　　 解析：(1)设，则

　　　 显然也为方程的两根。

　　　 另外，

　　　 又

　　　 所以也为的两根。

　　　 (2)由(1)知。根据题设知必为方程的两根。因的图象是开口向上的，且，得，所以。

　　　 由，根据上述性质可得的示意图(如图)。

　　　 由图易知。

　　　 二次函数的解析式有三种不同形式。①一般式：；②顶点式：；③两根式：。无论是求解析式，还是运用解析式解决有关问题，都需要根据问题的条件，选取恰当形式。

　 例1. 已知函数。若，且方程有两个小于1的不等的正根，则a的最小值为(　　 )

　　　 A. 2　　　　　　　　　　　　　　 B. 3　　　　　　　　　　　　　　 C. 4　　　　　　　　　　　　　　 D. 5

　　　 解析：根据题意，设，其中，且。

　　　 利用韦达定理得

　　　 又

　　　 ，由得

　　　 而(当且仅当时取等号)，(当且仅当时取等号)，通过<3>可得(时不等式不能取等号)，，即。又，a的最小值为5，应选D。

　 例9. (2001年“希望杯”赛题)F₁、F₂是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠F₁PF₂＝120°，求椭圆离心率的取值范围。

　　 解：由同例8得

　　 又，所以