例2. 求值：

解：如图2，将边长为1的正七边形ABCDEFO放进直角坐标系中，则，

图2

又

又

　 例1. 用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。

已知：如图1，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A、B重合)，求证：∠APB＝90°。

图1

证明：联结OP，设向量，则且，

，即∠APB＝90°。

　 例6. 求在上的极值。

　　　 错解：由题意得

　　　 令，得

　　　 当时，在附近两侧的符号相反，左正右负

　　　 ∴，是函数的极大值点。

　　　 剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的极值可以在定义域内导数为零的点或不可导点取得。所以后面还应该加上：在定义域内不可导的点为：

　　　 经计算，在附近两侧的符号相反，左负右正

　　　 在附近两侧的符号相反，左负右正

　　　 和是函数的两个极小值点

　　　 ∴函数的极大值为

　　　 极小值为

　　　 (函数的图象见上图)

　 例5. 求在上的最大值和最小值。

　　　 错解：由题意得

　　　 令得

　　　 ∴当和3时，函数的最大值是

　　　 　 当时，函数的最小值是1

　　　 剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的最值可以在导数为零的点或不可导点或区间的端点处取得。所以后面应该加上：在定义域内不可导的点为：

　　　 ∴当和3时，函数的最大值是

　　　 　当或2时，函数的最小值是0

　　　 函数的图象如图

　 例4. 已知函数在内单调递减，求实数a的取值范围。

　　　 错解：，由函数在内单调递减知在内恒成立

　　　 即在内恒成立

　　　 因此

　　　 剖析：错误的主要原因是由于对函数在D上单调递增(或递减)的充要条件是(或)且在D任一子区间上不恒为零没有理解。而当时在恒成立，所以不符合题意，舍去。

　 例3. 求函数的单调增区间。

　　　 错解：由题意得

　　　 又因为函数的定义域是

　　　 所以函数的单调递增区间是(0，1)和(1，)。

　　　 剖析：错解错在对函数在处是否连续没有研究，显然函数在处是连续的，所以函数的单调递增区间是。(函数的图象见下图)对于(或)的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不能草率下结论。

　 例2. 函数在处有极值10，求a、b的值。

　　　 错解：，由题意知

　　　 ，且

　　　 即，且

　　　 解之得或

　　　 剖析：错误的主要原因是把为极值的必要条件当作了充要条件，

　　　 为极值的充要条件是

　　　 且附近两侧的符号相反，所以后面应该加上：

　　　 当时

　　　 在附近两侧的符号相反，

　　　 当时，

　　　 在附近两侧的符号相同，

　　　 所以舍去。

　　　 ∴(时，

　　　 的图象见下面左图，

　　　 时，

　　　 的图象见下面右图。)

　 例1. 已知函数，求

　　　 错解：因为

　　　 剖析：错误的主要原因是由于对导数的定义理解不清，导数

　　　 函数在某一点处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量△x必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是，等。

2. 求函数的最大值。

例5　 已知二次函数满足条件，，且方程有两个相等实根。问是否存在实数，使得的定义域为［m，n］时，值域为［3m，3n］。如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由。

解：因，所以函数的图象的对称轴为直线

=1，可得　　　　　 ①

由，得　　　　　　 ②

因方程有两个相等实根，即有相等实根，所以　　　　　　 ③

将①代入②，得。由③知，b=1，所以。

则，

所以，即。

在［m，n］上单调递增，假设存在满足条件的m、n，则

解得

又，则m=-4，n=0，即存在m=-4，n=0满足条件。

注：解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决。

练一练：

1. 求下列函数的值域：

①；②；③。