摘要： 函数自身的对称性探究 高考题回放:设函数 ..且在闭区间［0.7］上只有 (1)试判断函数的奇偶性, (2)试求方程在闭区间［-2005.2005］上根的个数并证明你的结论. 分析:由可得:函数图象既关于x＝2对称.又关于x＝7对称.进而可得到周期性.然后再继续求解.而本题关键是要首先明确函数的对称性.因此.熟悉函数对称性是解决本题的第一步. 定理1 函数的图像关于直线x＝a对称的充要条件是即 证明(略) 推论 函数的图像关于y轴对称的充要条件是 定理2 函数的图像关于点A(a.b)对称的充要条件是 证明(略) 推论 函数的图像关于原点O对称的充要条件是 偶函数.奇函数分别是定理1.定理2的特例. 定理3 ①若函数的图像同时关于点A成中心对称().则是周期函数.且是其一个周期. ②若函数的图像同时关于直线成轴对称().则是周期函数.且是其一个周期. ③若函数的图像既关于点A(a.c)成中心对称又关于直线x＝b成轴对称().则是周期函数.且是其一个周期. 以下给出③的证明.①②的证明留给读者. 因为函数的图像关于点A(a.c)成中心对称. 所以代得: 又因为函数的图像关于直线成轴对称. 所以代入(*)得: 得 代入(**)得: 是周期函数.且是其一个周期.

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