6.综合应用数学归纳法证明与正整数有关的问题

例8(2009山东卷理)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的　 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.

(1)求r的值；　　　

(11)当b=2时，记　 　

证明：对任意的 ，不等式成立

解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,

(2)当b=2时，,　　

则,所以

下面用数学归纳法证明不等式成立.

①　　 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.

②　　 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=

所以当时,不等式也成立

由①、②可得不等式恒成立.

点评:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.

5.与其他章节知识结合考察证明

例7(2008年海南宁夏21)设函数，曲线在点处的切线方程为y=3．

(1)求的解析式：

(2)证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

(3)证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

解：(1)，

于是解得或

因，故．

(2)证明：已知函数，都是奇函数．

所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而．可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．

(3)证明：在曲线上任取一点．

由知，过此点的切线方程为

．

令得，切线与直线交点为．

令得，切线与直线交点为．

直线与直线的交点为．

从而所围三角形的面积为．

所以，所围三角形的面积为定值．

5.实际问题

例6(2007年广东文10).图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为

A．18　　　　　　 B．17　　　　 C．16　　　　 D．15

[解析]很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项则难以作出选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决.设的件数为(规定:当时,则B调整了件给A,下同!),的件数为,的件数为,的件数为,依题意可得,,,,从而,,,故调动件次,画出图像(或绝对值的几何意义)可得最小值为16,故选(C).

[答案]:C

3.与立体几何结合考察推理

例3在DEF中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.

分析　 根据类比猜想得出.

其中为侧面为与所成的二面角的平面角.

证明： 作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：，

同乘以，得

即　

[变式]类比正弦定理：如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，二面角B-AA₁-C、C-BB₁-A、B-CC₁-A所成的二面角分别为、、，则有

证明：作平面DEF与三棱柱ABC-A₁B₁C₁侧棱垂直，分别交侧棱AA₁，BB₁ ，CC₁于点D，E，F，则=，，，

在DEF中，根据正弦定理得，即

而，且，因此．

例4(2007广东理)如果一个凸多面体棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有　 　__ 条.这些直线中共有对异面直线，则＝　 12　 ; ＝　 　　　.(答案用数字或的解析式表示)

4构造数表考察推理

例5(2007湖南理)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第　 　　　行；第61行中1的个数是　 32　　 ．

第1行　　　 1　　 1

第2行　　　　 1　 0　 1

第3行　　　 1　 1　 1　 1

第4行　　 1　 0　 0　 0　 1

第5行　 1　 1　 0　 0　 1　 1

……　 ………………………………………

　　 　　　　　　　　图1

2.与解析几何集合考察推理

例2(03年上海)已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上的任意一点，当直线的斜率都存在时，则是与点位置无关的定值，试对双曲线写出具有类似特性的性质。

答案:.

1.与数列结合考察推理

例1(09浙江文)设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，　　　 ，　　　 ，成等比数列．

答案．

[命题意图]此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力

[解析]对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．

6．误差分析

本实验中参与计算的量有x和T，因此误差来源于x和T．调好打点计时器，由于电源频率很稳定，所以打点时间误差可忽略不计．在测量x时用毫米刻度尺，要求眼睛正对点和刻度尺，并且有时候也并非每两计数点间逐段测量长度为x₁、x₂、x₃……，而是让刻度尺的零刻度对准第一个计数点0，分别测出各计数点1、2、3……到0点的距离d₁、d₂、d₃……，此时v_n=来求各点瞬时速度．

[典题例析]

类型一：仪器的使用和误差分析

例1．　　　 若实验中电源的频率高于正常频率，而实验者不知道，则计算出来的加速度值与正常值相比偏大还是偏小?

例2．在下列给出的器材中，选出“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中所需的器材并填在横线上_________________(填编号)．

①打点计时器②天平③低压交流电源④低压直流电源⑤细绳和纸带⑥钩码和小车　 ⑦秒表　 ⑧一端有滑轮的长木板⑨刻度尺选出的器材是　　 (　　 )

　 类型二：纸带的数据处理

　 例3．某同学在研究小车的运动实验中，获得一条点迹清楚的纸带，如图所示，已知打点计时器每隔0.02s打一个点，该同学选择了A、B、C、D、E、F六个计数点，测量数据如图中，单位是厘米．

(1)试计算瞬时速度v_B、v_C、v_D、v_E各多大?

(2)计算小车的加速度多大?

　 例4．在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，算出小车经过各计数点的瞬时速度如下为了计算加速度，合理的方法是　　 (　 )

A．根据任意两计数点的速度用公式a=△v／△t算出加速度

B根据实验数据画出v-t图象，量出其倾角θ，由公式a=tanθ求出加速度

C．根据实验数据画出v-t图象，由图线上相距较远的两点所对应的速度、时间用公式a=△v／△t算出加速度

D．依次算出通过连续两计数点间的加速度，算出平均值作为小车的加速度

例5．如图所示，是实验时得到的一条纸带，每两个相邻点时间间隔为0.02秒，则由图中给定数据可求得小车运动的加速度为__________m/s²。

例6　 在做“研究匀变速直线运动”的实验时，某同学得到一条用打点计时器打下的纸带，如图所示，并在其上取了A、B、C、D、E、F等6个计数点，(每相邻两个计数点间还有1个打点计时器打下的点，本图中没有画出)打点计时器接的是“220V、50Hz”的交变电流．如图,他把一把毫米刻度尺放在纸带上，其零刻度和计数点A对齐，求：

(1)打点计时器在打B、C、D、E各点时物体的瞬时速度v_B、v_C、v_D、v_E．

(2)根据(1)中得到的数据，试在图中所给的坐标系中，画出v－t图象，并从中求出物体的加速度a

(3)如果当时电网中交变电流的频率是f=49Hz，而做实验的同学并不知道，那么由此引起的系统误差将使加速度的测量值比实际值偏　　　　　　 ．理由是：　　　　　　 　．

[问题反思]

5．注意事项

(1) 要在钩码落地处放置软垫或砂箱，防止撞坏钩码.

(2) 要在小车到达滑轮前用手按住它或放置泡沫塑料档板，防止车掉在地上或撞坏滑轮.

(3) 开始释放小车时，应使小车靠近打点计时器.

(4) 应该先接通电源，待打点计时器打点稳定后，再释放小车.

(5) 小车另一端所挂的钩码个数要适当，避免加速度过大而使纸带上打的点太少，或者加速度太小，使各段位移无多大区别.

(6) 选择一条理想的纸带，是指纸带上的点迹清晰．适当舍弃点子密集部分，适当选取计数点(计数点和计时点有区别)，弄清楚所选的时间间隔T等于多少秒.

4． 探究过程

(1)把附有滑轮的长木板平放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面. 把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，连接好电路.

(2) 把一条细绳拴在小车上，使细绳跨过滑轮，下边拴上合适的钩码.把纸带穿过打点计时器，并把纸带的一端固定在小车的后面.

(3) 把小车停在靠近打点计时器处，接通电源后，放开小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一列小点. 换上新纸带，重复实验三次.

(4) 数据处理:用v-t图像法，先根据匀变速直线运动某段时间中点的瞬时速度等于这段时间的平均速度即v_n=s_n+s_n+1/2T求出打第n个点时纸带的瞬时速度，然后作出v-t图像，图线的斜率即为物体运动的加速度：a=△v/△t.

(例题2)

3． 实验器材: 电火花打点计时器或电磁打点计时器，一端附有滑轮的长木板，小车，纸带，细绳，钩码，刻度尺，导线，电源.