结合上表可知猜想正确，即当n=3时f(n)取到最小值为f(3)=.………4分

(Ⅱ)同解法一．

(Ⅲ)同解法一，得a_n=3ⁿ.………………………………………………………10分

           由a_i?a_j=3ⁱ?3^j=3^i+j  (1≤i≤j≤n)，列表如下：

因为k≥5,所以2k²-(k+1)²=k²-2k-1=(k-1)²-2>0.

所以2^k+1>(k+1)².即当n=k+1时，不等式也成立．

根据(i)和(ii)所述，对于所有n≥5，n∈N ^*，n²<2 ⁿ都成立．

解法二：(Ⅰ)由f(n)= ，计算得：

据此猜想n=3时,f(n)取到最小值．………………………………………2分

以下用数学归纳法证明n≥5时,n²<2 ⁿ成立．

(i)当n=5时，5²<2 ⁵，不等式成立．

(ii)假设n=k(k≥5)时不等式成立，即k²>2 ^k

那么2^k+1=2 ^k ?2>k² ?2 ,

= ……………………………………………14分

=

= +

=

            记数列{3 ⁿ}的所有可能的乘积(1≤i≤j≤n)的和为S，则

S=a₁?a₁+(a₁+a₂) ?a₂+…+(a₁+a₂+…+a_n) ?a_n………………………………11分

= 3?3¹+(3+3²) ?3²+…+(3+3²+…+3ⁿ) ?3ⁿ…………………………………12分

(Ⅲ)因为g(x)=2^x,所以g(a_n+1)= ,又g(a_n+1)= = ,

            所以a_n+1=3a_n.又a₁=3, 所以数列{a_n}是首项a₁=3，公比为3的等比数列，

所以a_n=3?3 ^n-1=3 ⁿ. ………………………………………………………10分

综上，a>1时，原不等式的解集是(a+1，2a]；a=1时，原不等式的解集是；

a<l时，原不等式的解集是(a+1，2]．………………………………………9分