摘要：已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lgan-1(n≥2.n∈N)且f(1)=-lga.是否存在实数α.β使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任何n∈N *都成立.证明你的结论. 解:∵f(n)=f(n-1)+lgan-1.令n=2.则f(2)=f(1)+f(a)=-lga+lga=0. 又f(1)=-lga. ∴ ∴ ∴f(n)=(n2-n-1)lga. 证明:(1)当n=1时.显然成立. (2)假设n=k时成立.即f(k)=(k2-k-1)lga. 则n=k+1时.f(k+1)=f(k)+lgak=f(k)+klga=(k2-k-1+k)lga=［(k+1)2-(k+1)-1］lga. ∴当n=k+1时.等式成立. 综合可知.存在实数α.β且α=.β=-.使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任意n∈N*都成立. 培养能力

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