5.下列各函数中，哪是正比例函数?哪是一次函数?哪是二次函数?

　　　 答： 其中是正比例函数的有______(填题号)；

　　　　　 其中是一次函数的有______(填题号)；

　　　　　 其中是二次函数的有______(填题号).

4.已知函数y=ax²+bx+c.

　(1) 当a,b,c是怎样的数时，它是正比例函数?答：______；

　(2) 当a,b,c是怎样的数时，它是一次函数?答：______；

　(3) 当a,b,c是怎样的数时，它是二次函数?答：______.

3.m是什么值时，函数y=(m-4)x^m2-5m+6是关于x的二次函数?

2.填空：已知二次函数

　y=-x²; ①　　 y=;②

　y=15x²;③　　　 y=-4x²;④

　y=-x²;　 ⑤　 y=4x².⑥

　 (1)其中开口向上的有_______(填题号)；

　 (2)其中开口向下且开口最大的是________(填题号)；

　 (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后渐变小的有________(填题号).

1.　　 1.　　 已知a≠0,b<0，一次函数是y=ax+b，二次函数是y=ax²，则下面图13-65中，可以成立的是(　 )

　　　 例 10 如图2，已知抛物线y=-与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点，

若∠ACB=90，且tg∠CAO-tg∠CBO=2，求其解析式．

解　 设A，B两点的横坐标分别为x,则q=(-x

由ΔAOC-ΔCOB，可得OC=OA·OB，

∴q=q解得q=1,q=0(舍去)，

又由tg∠CAO-tg∠CBO=2得

即

∴x+x=-2xx 　即 p=2p=2

所以解析式为y=-x+2x+1

函数及其图象 　 例1.二次函数性质的应用 例2.利用二次函数性质求点的坐标 例3.求二次函数解析式 例4.求二次函数解析式 二、同步测试 三、提示与答案 -------------------------------------------------------------------------------- 例6.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，对称轴是直线x=-1 (1)确定a.b.c.b2-4ac的符号， (2)求证a-b+c＜o 　　　　　　　; (3)当x取何值时，y随x值的增大而减小。 解：(1)由抛物线开口向上，得出a＞0，由抛物线与y轴交点坐标为(O，C)，而此点在x轴下方，得出c＜0，又由抛物线的对称轴是x=-1，在y轴左侧，得出b与a同号∴b＞0。 抛物线与x轴有两个交点，即ax2+bc+c=0有两个不等的实根，∴b2-4ac＞0 (2)当x=-1时，y=a-b+c＜0 (3)当x＜-1时，y随x值的增大而减小。 例7.已知y是x的二次函数，且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位，当x=3时，y取得最小值-2。(1)求这个二次函数的解析式 (2)若此函数图象上有一点P，使ΔPAB的面积等于12个平方单位，求P点坐标。 分析：由已知可得抛物线的对称轴是直线x=3，根据抛物线的对称性，又由抛物线在x轴上截得线段AB的长是4，可知其与x轴交点为(1，0)，(5,0) 解：(1)∵当x=3时 y取得最小值-2.即抛物线顶点为(3，-2).∴设二次函数解析式为 y=a(x-3)2-2 又∵图象在x轴上截得线段AB的长是4，∴图象与x轴交于(1，0)和(5，0)两点 ∴a(1-3)2-2=0 ∴a= ∴所求二次函数解析式为y=x2-3x+ (2)∵ΔPAB的面积为12个平方单位，｜AB｜=4 ∴×4×｜Py｜=12 ∴｜Py｜=6 ∴Pg=±6 但抛物线开口向上，函数值最小为-2，∴Py=-6应舍去，∴Pg=6 又点P在抛物线上， ∴6=x2-3x+ x1=-1,x2=7 即点P的坐标为(-1，6)或(7，6) 说明：此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1，x2，运用公式｜x1-x2｜=，会使运算繁琐。这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标，比较简便。 例8.如图，矩形EFGH内接于ΔABC。E、F在AC边上H、G分别在AB、BC边上，AC=8cm,高BD=6cm,设矩形的宽HE为x(cm)。试求出矩形EFGH的面积y(cm2)与矩形EFGH的宽x(cm)间的函数关系式，并回答当矩形的宽取多长时，它的面积最大，最大面积是多少? 　 解：∵四边形EFGH是矩形 　∴HG∥AC　　　　　　 　∴ΔABC∽ΔHBG　　　　　 　 设BD交HG于M 　 则BD与BM分别是ΔABC和ΔHBG的高。 　 ∴ 　 ∵HG∥AC, 　 ∴MD=HE=x,BM=6-x 　 ∴, 　 ∴HG= 　 ∵y=S矩形EFGH=HE*HG 　 ∴y=x* 　 整理得y=-x2+8x 　 ∵BD=6 　 ∴自变量x的取值范围是0＜x＜6 　 ∵x2的系数为-＜0， 　 ∴y有最大值 　 当x=-=3时， 　 y最大值==12 　 ∴所求函数的解析式为y=-x2+8x(0＜x＜6)，当它的宽为3cm时，矩形EFGH面积最大，最大面积为12cm2。 　 例9.二次函数y=ax2+bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，设x1,x2是方程ax2+bx-5=0的两个根，且x12+x22=26,又设二次函数图象顶点为A， 　 (1)求二次函数的解析式 　 (2)求原点O到直线AB的距离 　 解(1)如图 　 ∵-=3 ∴-=6 　 又x1+x2=-=6 x1*x2=- 　 由已知，有x12+x22=26， 　 ∴(x1+x2)2-2x1x2=26 　 即(-)2+=26,=26-36 　 解得a=-1 　 ∴解析式为y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4 　 (2)∵OB=5,OC=4,AC=3 　 ∴AB==3 　 又OA==5 　 ∴ΔAOB为等腰三角形，作OD⊥AB于D， 　 ∴BD= 　 ∴OD=, 　 即原点O到直线AB的距离为 　 三、同步测试： 选择题： 1.如果点P(3m-p,1-m)是第三象限的整数点，那么P点坐标是( ) (A).(-2，-1) (B)(-3，-1) (C)(-3，-2) (D)(-4，-2) 2.若点P(a,b)在第二、四象限两轴夹角平分线上，则a与b的关系是() (A)a=b (B)a=-b (C)a=｜b｜ (D)｜a｜=b 3.点P(x,y)在第二象限，且｜x｜=2，｜y｜=3,则点P关于x轴对称点的坐标为( ) (A)(-2，3) (B)(2，-3) (C)(-2，-3) (D)(2，3) 4.函数y=中，自变量x的取值范围是( ) (A)x≤2 (B)x＜2 (C)x≠2 (D)x＞2 5.函数y=中，自变量x的取值范围是( ) (A)x＞-2且x≠1 (B)x≥-2且x≠1 (C)x≥-2且x≠±1 (D)x≥-2或x≠±1 6.在下列函数中，成正比例函数关系的是( ) (A)圆的面积与它的周长 (B)矩形面积是定值，矩形的长与宽 (C)正方形面积与它的边长 (D)当底边一定时，三角形面积与底边上的高 7.函数y=k(x-1)与y=(k＜o)在同一坐标系下的图象大致如图( ) 8.如果直线y=kx+b的图象过二、三、四象限，那么( ) (A)k＞0,b＞0 (B) k＞0，b＜0 (C)k＜0，b＞0 (D)k＜0，b＜0 9.对于抛物线y=-+x-x2，下列结论正确的是( ) (A)开口向上，顶点坐标是(，0) (B)开口向下，顶点坐标是(，0) (C)开口向下，顶点坐标是(-，) (D)开口向上，顶点坐标是(-，-) 10.若a＞0,b＜0则函数y=ax2+bx的图象是下面图中的( ) 11.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则( ) (A)a＞0,b＞0,　c＞0,Δ＜0 (B)a＜0,b＞0,　c＜0,Δ＞0 (C)a＞0,b＜0,　c＜0,Δ＞0 (D)a＜0,b＜0,　c＞0,Δ＜0 12.把函数y=2x2-4x-5的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得到的函数图象的解析式为( ) (A)y=2x2+4x-8 (B)y=2x2-8x+8 (C)y=2x2+4x-2 (D)y=2x2-8x-2 填空题 13.点A(，-5)到x轴的距离是____；到y轴的距离是____；到原点的距离是____. 14.直线y=kx+b与直线y=-x平行，且通过点(2，-3)，则k=__，在y轴上的截距为___. 15.一次函数的图象经过(1，-5)点且与y轴交于(0，-1)点，则一次函数的解析式为____. 16.已知抛物线的顶点为M(4，8)且经过坐标原点，则抛物线所对应的二次函数的解析式为____. 解答题： 17.一次函y=x+分别与x轴，y轴交于点A，B，点C(0,a)且a＜0，若∠BAC为直角，求图象过点C与点A的一次函数解析式。 18.已知如图，在ΔABC中，AB=4，AC=6,D是AB边上一点，E是AC边上一点，∠ADE=∠C,设DB=x,AE=y。 (1)求出y与x的函数关系式； (2)画出这个函数图象。 19.在直角坐标系xoy中，直线l过点(4，0)，且与x，y轴围成的直角三角形面积为8，一个二次函数图象过直线l与两坐标轴的交点，且以x=3为对称轴，开口向下。求二次函数的解析式及函数的最大值。 20.已知抛物线y=x2-mx+(2m+3)(m是不小于-2的整数)与x轴相交于A、B两点，且A、B两点间的距离恰是顶点到y轴距离的2倍。 (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)如果D(t,2)是抛物线上一点且在第一象限，求D点坐标。 四.提示与答案 1.B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.A 13.5，3，2 14.-，-2 15.y=-4x-1 16.y=-x2+4x 17.y=-x- 18.(1)y=-x+(0≤x＜4)；(2)图略 19.y=-x2+3x-4,最大值为. 20.(1)y=x2+2x-1;(2)D(1,2)

：

　　　 例 9已知抛物线y=的图象经过三点(0，)、(sinA，0)、(sinB，0)且A、B为直角三角形的两个锐角，求其解析式。

解　 ∵A+B=90，∴sinB=cosA.

则由根与系数的关系，可得

将(0，)代入解析式，得c=

(1),得

∴

∵-b∴b=-

所以解析式为y=

　　　 例　 8　 已知二次函数y=-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。

解　 由弦比公式，得AB=

顶点C的纵坐标为-

∵ΔABC为等边三角形

∴

解得m=4故所求解析式为

y=

或y=

例 7　 已知抛物线y=x　 的对称轴在 y轴的右侧，且抛物线与 y轴交于Q(0，-3)，与x轴的交点为A、B，顶点为P，ΔPAB的面积为8。求其解析式。

解　 将(0，-3)代入y=得 c=-3.

由弦长公式，得

点P的纵坐标为

由面积公式，得

解得

因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2.

所以解析式为y=

例 6　 如图1， 抛物线y=与y=其中一条的顶点为P，另一条与X轴交于M、N两点。

(1)试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？

(2)求两条抛物线的解析式。

解　 (1)抛物线y=与x轴交于M，N两点(过程从略)；

(2)因y=的顶点坐标为(0，1)，

∴b-2=0,d=1,　 ∴b=2.

∴Y=.

将点N的坐标与b=2分别代入y=+(b+2)x+c得c=6.

∴y=+4x+6