摘要：例 10 如图2.已知抛物线y=-与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点. 若∠ACB=90.且tg∠CAO-tg∠CBO=2.求其解析式． 解 设A.B两点的横坐标分别为x,则q=(-x 由ΔAOC-ΔCOB.可得OC=OA·OB. ∴q=q解得q=1,q=0. 又由tg∠CAO-tg∠CBO=2得 即 ∴x+x=-2xx 即 p=2p=2 所以解析式为y=-x+2x+1 函数及其图象 例1.二次函数性质的应用 例2.利用二次函数性质求点的坐标 例3.求二次函数解析式 例4.求二次函数解析式 二.同步测试 三.提示与答案 -------------------------------------------------------------------------------- 例6.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示.对称轴是直线x=-1 (1)确定a.b.c.b2-4ac的符号. (2)求证a-b+c＜o ; (3)当x取何值时.y随x值的增大而减小. 解:(1)由抛物线开口向上.得出a＞0.由抛物线与y轴交点坐标为(O.C).而此点在x轴下方.得出c＜0.又由抛物线的对称轴是x=-1.在y轴左侧.得出b与a同号∴b＞0. 抛物线与x轴有两个交点.即ax2+bc+c=0有两个不等的实根.∴b2-4ac＞0 (2)当x=-1时.y=a-b+c＜0 (3)当x＜-1时.y随x值的增大而减小. 例7.已知y是x的二次函数.且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位.当x=3时.y取得最小值-2.(1)求这个二次函数的解析式 (2)若此函数图象上有一点P.使ΔPAB的面积等于12个平方单位.求P点坐标. 分析:由已知可得抛物线的对称轴是直线x=3.根据抛物线的对称性.又由抛物线在x轴上截得线段AB的长是4.可知其与x轴交点为 解:(1)∵当x=3时 y取得最小值-2.即抛物线顶点为.∴设二次函数解析式为 y=a(x-3)2-2 又∵图象在x轴上截得线段AB的长是4.∴图象与x轴交于两点 ∴a(1-3)2-2=0 ∴a= ∴所求二次函数解析式为y=x2-3x+ (2)∵ΔPAB的面积为12个平方单位.|AB|=4 ∴×4×|Py|=12 ∴|Py|=6 ∴Pg=±6 但抛物线开口向上.函数值最小为-2.∴Py=-6应舍去.∴Pg=6 又点P在抛物线上. ∴6=x2-3x+ x1=-1,x2=7 即点P的坐标为 说明:此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1.x2.运用公式|x1-x2|=.会使运算繁琐.这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标.比较简便. 例8.如图.矩形EFGH内接于ΔABC.E.F在AC边上H.G分别在AB.BC边上.AC=8cm,高BD=6cm,设矩形的宽HE为x(cm).试求出矩形EFGH的面积y(cm2)与矩形EFGH的宽x(cm)间的函数关系式.并回答当矩形的宽取多长时.它的面积最大.最大面积是多少? 解:∵四边形EFGH是矩形 ∴HG∥AC ∴ΔABC∽ΔHBG 设BD交HG于M 则BD与BM分别是ΔABC和ΔHBG的高. ∴ ∵HG∥AC, ∴MD=HE=x,BM=6-x ∴, ∴HG= ∵y=S矩形EFGH=HE*HG ∴y=x* 整理得y=-x2+8x ∵BD=6 ∴自变量x的取值范围是0＜x＜6 ∵x2的系数为-＜0. ∴y有最大值 当x=-=3时. y最大值==12 ∴所求函数的解析式为y=-x2+8x.当它的宽为3cm时.矩形EFGH面积最大.最大面积为12cm2. 例9.二次函数y=ax2+bx-5的图象的对称轴为直线x=3.图象与y轴相交于点B.设x1,x2是方程ax2+bx-5=0的两个根.且x12+x22=26,又设二次函数图象顶点为A. (1)求二次函数的解析式 (2)求原点O到直线AB的距离 解(1)如图 ∵-=3 ∴-=6 又x1+x2=-=6 x1*x2=- 由已知.有x12+x22=26. ∴2-2x1x2=26 即(-)2+=26,=26-36 解得a=-1 ∴解析式为y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4 (2)∵OB=5,OC=4,AC=3 ∴AB==3 又OA==5 ∴ΔAOB为等腰三角形.作OD⊥AB于D. ∴BD= ∴OD=, 即原点O到直线AB的距离为 三.同步测试: 选择题: 1.如果点P是第三象限的整数点.那么P点坐标是( ) 2.若点P(a,b)在第二.四象限两轴夹角平分线上.则a与b的关系是() a=|b| (D)|a|=b 3.点P(x,y)在第二象限.且|x|=2.|y|=3,则点P关于x轴对称点的坐标为( ) 4.函数y=中.自变量x的取值范围是( ) x≠2 (D)x＞2 5.函数y=中.自变量x的取值范围是( ) x≥-2且x≠1 x≥-2或x≠±1 6.在下列函数中.成正比例函数关系的是( ) (A)圆的面积与它的周长 (B)矩形面积是定值.矩形的长与宽 (C)正方形面积与它的边长 (D)当底边一定时.三角形面积与底边上的高 7.函数y=k(x-1)与y=在同一坐标系下的图象大致如图( ) 8.如果直线y=kx+b的图象过二.三.四象限.那么( ) k＞0.b＜0 k＜0.b＜0 9.对于抛物线y=-+x-x2.下列结论正确的是( ) (A)开口向上.顶点坐标是(.0) (B)开口向下.顶点坐标是(.0) (C)开口向下.顶点坐标是(-.) (D)开口向上.顶点坐标是(-.-) 10.若a＞0,b＜0则函数y=ax2+bx的图象是下面图中的( ) 11.已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图.则( ) (A)a＞0,b＞0, c＞0,Δ＜0 (B)a＜0,b＞0, c＜0,Δ＞0 (C)a＞0,b＜0, c＜0,Δ＞0 (D)a＜0,b＜0, c＞0,Δ＜0 12.把函数y=2x2-4x-5的图象向左平移2个单位.再向下平移3个单位后.所得到的函数图象的解析式为( ) (A)y=2x2+4x-8 (B)y=2x2-8x+8 (C)y=2x2+4x-2 (D)y=2x2-8x-2 填空题 13.点A(.-5)到x轴的距离是 ,到y轴的距离是 ,到原点的距离是 . 14.直线y=kx+b与直线y=-x平行.且通过点.则k= .在y轴上的截距为 . 15.一次函数的图象经过点且与y轴交于点.则一次函数的解析式为 . 16.已知抛物线的顶点为M(4.8)且经过坐标原点.则抛物线所对应的二次函数的解析式为 . 解答题: 17.一次函y=x+分别与x轴.y轴交于点A.B.点C(0,a)且a＜0.若∠BAC为直角.求图象过点C与点A的一次函数解析式. 18.已知如图.在ΔABC中.AB=4.AC=6,D是AB边上一点.E是AC边上一点.∠ADE=∠C,设DB=x,AE=y. (1)求出y与x的函数关系式, (2)画出这个函数图象. 19.在直角坐标系xoy中.直线l过点(4.0).且与x.y轴围成的直角三角形面积为8.一个二次函数图象过直线l与两坐标轴的交点.且以x=3为对称轴.开口向下.求二次函数的解析式及函数的最大值. 20.已知抛物线y=x2-mx+与x轴相交于A.B两点.且A.B两点间的距离恰是顶点到y轴距离的2倍. (1)求这条抛物线的函数解析式, 是抛物线上一点且在第一象限.求D点坐标. 四.提示与答案 1.B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.A 13.5.3.2 14.-.-2 15.y=-4x-1 16.y=-x2+4x 17.y=-x- 18.(1)y=-x+图略 19.y=-x2+3x-4,最大值为. 20.(1)y=x2+2x-1; :

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