1. 在半径为5的圆中,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,试求AB和CD的距离.

3．还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系?

　　 如右图示，连接OA、OB得到等腰△ABC，即OA=OB，因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM=BM，又⊙O关于直径CD对称，所以点A与点B关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合AD与BD重合．因此AM＝BM，AC＝BC，AD =BD )

　　 4．在上述操作过程中，你会得出什么结论?

　　 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

[这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质--垂径定理．在这里注意：①条件中的 “弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．

下面，我们一起看一下定理的证明：

　　 如上图，连接OA、OB，则OA=OB

在Rt△OAM和Rt△OBM中，

∵ OA=OB，OM=OM

∴ Rt△OAM≌Rt△OBM

∴ AM=BM

∴ 点A和点B关于CD对称

∵ ⊙O关于直径CD对称

∴ 当圆沿着直径CD对折时，点A和点B重合，AC和BC重合，AD 和BD重合

∴ AC＝BC，AD =BD

　　 即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：

为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．

　例题讲解 　

通过求解例，来熟悉垂径定理以及常见的辅助线

已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．(证明略)

拓展延伸

2．很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么呢?

　　 (AM＝BM，AC＝BC，AD =BD，因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合．)

1．通过第一步，我们可以得到什么?

　　 (可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．)

4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图．

教师叙述步骤，师生共同操作，并提出问题：

3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．

2．得到一条折痕CD．

　　 同学们想一想：圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?

　　 (圆是轴对称图形．过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．)

　　 你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下．

　　 我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线。这样便可知圆有无数条对称轴．

　 　圆是轴对称图形。过圆心的任意一条直线都是对称轴．

做一做

按下面的步骤做一做:

1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．

6. ⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是(　　 )

A．3≤OM≤5　　 B．4≤OM≤5　　 C．3＜OM＜5　　 D．4＜OM＜5

5. ⊙O直径为8，弦AB＝4，则∠AOB＝＿＿＿＿＿。