摘要：3．还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系? 如右图示.连接OA.OB得到等腰△ABC.即OA=OB.因CD⊥AB.故△OAM与△OBM都是Rt△.又OM为公共边.所以两个直角三角形全等.则AM=BM.又⊙O关于直径CD对称.所以点A与点B关于CD对称.当圆沿着直径CD对折时.点A与点B重合.AC与BC重合AD与BD重合．因此AM＝BM.AC＝BC.AD =BD ) 4．在上述操作过程中.你会得出什么结论? 垂直于弦的直径平分这条弦.并且平分弦所对的弧． [这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质--垂径定理．在这里注意:①条件中的 “弦 可以是直径．②结论中的“平分弧 指平分弦所对的劣弧.优弦． 下面.我们一起看一下定理的证明: 如上图.连接OA.OB.则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中. ∵ OA=OB.OM=OM ∴ Rt△OAM≌Rt△OBM ∴ AM=BM ∴ 点A和点B关于CD对称 ∵ ⊙O关于直径CD对称 ∴ 当圆沿着直径CD对折时.点A和点B重合.AC和BC重合.AD 和BD重合 ∴ AC＝BC.AD =BD 即垂径定理的条件有两项.结论有三项．用符号语言可表述为: 为了运用的方便.不易出现错误.易于记忆.可将原定理叙述为:一条直线若满足:垂直于弦.那么可推出:①平分弦.②平分弦所对的优弧.③平分弦所对的劣弧． 例题讲解 通过求解例.来熟悉垂径定理以及常见的辅助线 已知:如图.在以O为圆心的两个同心圆中.大圆的弦AB交小圆于C.D两点．求证AC=BD． 拓展延伸
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23、小明、小亮对于等腰三角形都很感兴趣，小明说：“我知道有一种等腰三角形，过它的顶点作一条直线可以将原来的等腰三角形分为两个等腰三角形．”小亮说：“你才知道一种啊！我知道好几种呢！”聪明的你知道几种呢？（要求最少画出两种，标明角度，不要求证明）
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22、已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：
（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．
（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．
（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．
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（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．
（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．
（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．
已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：
（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．
（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．
（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．
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已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：
（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．
（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．
（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．
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