6、(2006·济南市)现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是 8；　 cm；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．得到的阴影部分的面积是，即阴影部分的面积不变．

5、如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．

4、如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论:(1)∠E=22.50. (2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350(4)AC=CE(5) AD∶CE=1∶. 其中正确的有(　 )(A)5个　　 (B)4个　　 (C)3个　 (D)2个

3、如图：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF= 　　。可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于

　　　　　　　　　　　 。

2、如图,正方形ABCD中,∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F, 则∠BEC=　 度.

1、如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_________。

2、已知：如图，正方形ABCD的周长为4a，四边形EFGH四个顶点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动过程中，始终有EH∥BD∥FG，且EH＝FG，那么四边形EFGH的周长是否可求？若能求出，它的周长是多少？若不能求出，请说明理由．

探索正方形的性质

(1)边的性质：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　；

(2)角的性质：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ；

(3)对角线的性质：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ；

(4)对称性：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

例1、　　 已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于

点O；正方形A’B’C’D’的顶点A’与点O重合，A’B’交BC于点E，

A’D’交CD于点F，E是BC的中点。

(1)求证：F是CD的中点

(2)若正方形A’B’C’D’绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？

分析：(1)方法一∵OB=OC,E是BC的中点

∴OE⊥BC,∠OEC=90°

∵∠EA’F=∠ECF=90°

∴∠OFC=90°

∵OC=OD

∴F是CD的中点

方法二　　 ∵∠EA’F=90°,AC⊥BD　　 ∴∠EOC+∠COF=∠DOF+∠COF=90°

∴∠EOC=∠DOF　　　　　 又OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°

∴△OCE≌△ODF(ASA)

∴DF=CE=BC=CD,即F是CD的中点。

(2)证明方法同前方法二。

由(1)、(2)可以得到什么结论？(无论正方形A’B’C’D’绕点O旋转并与正方形ABCD分别交BC、CD于点E、F，总有OE=OF，BE=CF，EC=FD，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形ABCD面积的四分之一等等)

练习

如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A₁、A₂、…、A_n分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为( C　 )

A．cm²　　　 B．cm² C．cm² D． cm²

例2、已知，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE﹦∠BAE.

求证：AF﹦BC+FC.　　　　　　　　　　　　

例3、　　 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

例4、已知正方形ABCD。

(1)如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE＝GH；

(2)如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；

(3)当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边(或它们的延长线)截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。

练习：

1、(2006年潍坊市)如图7，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为(　 )

A．　　　　 B．　　　 C．1-　　 D．1-

这是一个流传在世界各地的故事，三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。一天，老人不幸去世，临终，老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝--一块五色斑斓的正方形地毯，深爱父亲的女儿们都想得这块地毯，以作纪念。大姐想出了一个好办法：“把它裁成三个小正方形地毯，为了不使地毯剪得过于零碎，最好只剪成4块，其中两块是正方形，另外两块可以拼成一个正方形。”聪明的你能想出一个巧妙的剪法，符合大姐的设想吗？

进行推理论证常常需要从两个方向思考：“证明结论，需要什么条件？”“从已知条件可以推出哪些证明结论所需的事项？”这样有利于探索并获得证明的思路。