(三)例题分析：

例1．判断下列各函数的奇偶性：

(1)；(2)；

(3)．

解：(1)由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数．

(2)由得定义域为，

∴，

∵　 ∴为偶函数

(3)当时，，则，

当时，，则，

综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数．

例2．已知函数对一切，都有，

(1)求证：是奇函数；(2)若，用表示．

解：(1)显然的定义域是，它关于原点对称．在中，

令，得，令，得，

∴，∴，即， ∴是奇函数．

(2)由，及是奇函数，

得．

例3．(1)已知是上的奇函数，且当时，，

则的解析式为．

(2) (《高考计划》考点3“智能训练第4题”)已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则　　　　　 ( 　)

　.　　　 .

　.　　　 .

例4．设为实数，函数，．

(1)讨论的奇偶性；　 (2)求 的最小值．

解：(1)当时，，此时为偶函数；

当时，，，

∴

此时函数既不是奇函数也不是偶函数．

(2)①当时，函数，

若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为；

若，函数在上的最小值为，且．

②当时，函数，

若，则函数在上的最小值为，且；

若，则函数在上单调递增，∴函数在上的最小值．

综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，

当，函数的最小值是．

例5．(《高考计划》考点3“智能训练第15题”)

已知是定义在实数集上的函数，满足，且时，，

(1)求时，的表达式；(2)证明是上的奇函数．

(参见《高考计划》教师用书)

(二)主要方法：

1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；

2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；

3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，．

4．设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．

5．注意数形结合思想的应用．

(一)主要知识：

1．函数的奇偶性的定义；

2．奇偶函数的性质：

(1)定义域关于原点对称；(2)偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；

3．为偶函数．

4．若奇函数的定义域包含，则．

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(四)巩固练习：

1．《高考计划》考点11，智能训练10；

2．已知是上的奇函数，且在上是增函数，则在上的单调性为　　　 ．

(三)例题分析：

例1．(1)求函数的单调区间；

(2)已知若试确定的单调区间和单调性．

解：(1)单调增区间为：单调减区间为，

(2)，，

　 令 ，得或，令 ，或

∴单调增区间为；单调减区间为．

例2．设，是上的偶函数．

(1)求的值；(2)证明在上为增函数．

解：(1)依题意，对一切，有，即

∴对一切成立，则，∴，∵，∴．

(2)设，则

，

由，得，，

∴，

即，∴在上为增函数．

例3．(1)(《高考计划》考点11“智能训练第9题”)若为奇函数，且在上是减函数，又，则的解集为．

例4．(《高考计划》考点10智能训练14)已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，

(1)求证：是偶函数；(2)在上是增函数；(3)解不等式．

解：(1)令，得，∴，令，得∴，

∴，∴是偶函数．

(2)设，则

∵，∴，∴，即，∴

∴在上是增函数．

(3)，∴，

∵是偶函数∴不等式可化为，

又∵函数在上是增函数，∴，解得：，

即不等式的解集为．

例5．函数在上是增函数，求的取值范围．

分析：由函数在上是增函数可以得到两个信息：①对任意的总有；②当时，恒成立．

解：∵函数在上是增函数，∴对任意的有，即，得

，即，

∵，∴　 　　，

∵，∴要使恒成立，只要；

又∵函数在上是增函数，∴，

即，综上的取值范围为．

另解：(用导数求解)令，函数在上是增函数，

∴在上是增函数，，

∴，且在上恒成立，得．

(二)主要方法：

1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；

2．判断函数的单调性的方法有：(1)用定义；(2)用已知函数的单调性；(3)利用函数的导数．

3．注意函数的单调性的应用；

4．注意分类讨论与数形结合的应用．

(一)主要知识：

1．函数单调性的定义；

2．判断函数的单调性的方法；求函数的单调区间；

3．复合函数单调性的判断．

11.(上海春卷12)根据所示的程序框图(其中表示不大于x[来源:学的最大整数)，输出r=__________。

答案：

解析：由框图的算法原理可知：，，，；，；，，，输出。

9.(山东卷文13)执行右图所示的程序框图，若输入，则输出y的值为　　　　

[答案]

[解析]当x=4时，y=，此时|y-x|=3；当x=1时，y=，此时|y-x|=；

当x=时，y=，此时|y-x|=，故输出y的值为。

[命题意图]本题考查程序框图的基础知识，考查了同学们的试图能力。

10(上海卷理7文11)2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入