摘要：(二)主要方法: 1．判断函数的奇偶性.首先要研究函数的定义域.有时还要对函数式化简整理.但必须注意使定义域不受影响, 2．牢记奇偶函数的图象特征.有助于判断函数的奇偶性, 3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:.． 4．设.的定义域分别是.那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇.奇奇=偶.偶+偶=偶.偶偶=偶.奇偶=奇． 5．注意数形结合思想的应用．
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对于定义域为[0，1]的函数f（x）如果满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2成立．则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断函数g（x）=2x+1 （0≤x≤1）是否为理想函数，并予以证明；
（2）求定义域为[0，1]的理想函数f（x）的最大值和最小值；
（3）某同学发现：当x=
（n∈N）时，有f（
）≤
+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你根据该同学发现的结论（或其它方法）来判断此猜想是否正确，并说明理由．
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（1）判断函数g（x）=2x+1 （0≤x≤1）是否为理想函数，并予以证明；
（2）求定义域为[0，1]的理想函数f（x）的最大值和最小值；
（3）某同学发现：当x=
| 1 |
| 2n |
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| 2n |
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| 2n |
我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得
=C，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：
（2）请先学习下面的证明方法：
证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，
是其“和谐数”．
证明过程如下：对任意x1∈[10，100]，令
=
，即
=
，
得x2=
．∵x1∈[10，100]，∴x2=
∈[10，100]．即对任意x1∈[10，100]，存在唯一的x2=
∈[10，100]，使得
=
．∴g（x）=lgx为“和谐函数”，
是其“和谐数”．
参照上述证明过程证明：函数h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”；
（3）写出一个不是“和谐函数”的函数，并作出证明．
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| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：
是
是
．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：2
2
．（2）请先学习下面的证明方法：
证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，
| 3 |
| 2 |
证明过程如下：对任意x1∈[10，100]，令
| g(x1)+g(x2) |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| lgx1+lgx2 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
得x2=
| 1000 |
| x1 |
| 1000 |
| x1 |
| 1000 |
| x1 |
| g(x)+g(x2) |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
参照上述证明过程证明：函数h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”；
（3）写出一个不是“和谐函数”的函数，并作出证明．
（n∈N）时，有f（
（n∈N）时，有f（
）≤
+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你根据该同学发现的结论（或其它方法）来判断此猜想是否正确，并说明理由．