山东师大附中高三数学模拟考试试题
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
已知集合
，定义
，则集合
的所有真子集的个数为（
）
A.32
B
2. 如果复数
（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3.
对任意
，
恒成立，则
的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
已知两个不同的平面
和两条不重合的直线
，有下列四个命题：①若
，则
；②若
，则
；③若
，则
；④若
，则
；其中不正确的命题的个数为（ ）
A.0 B.
5.
已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
A．
B．
C．
D．
6.
要得到函数
的图像，只需将函数
的图像（ ）
A.向右平移
个单位
B. 向右平移
个单位
C. 向左平移个单位
D. 向左平移个单位
7. 已知命题
，命题
，若命题“
” 是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．
或
B. 或
C. 
D. 
8. 
椭圆
的长轴为
，短轴为
，将椭圆沿
轴折成一个二面角，使得
点在平面
上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 在区间
上任取两个数，则两个数之和小于
的概率为（ ）
A.
B. 
C. 
D. 
10. 右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（ ）
A．
B. C.
D. 
11. 设函数
，类比课本推导等差数列的前
n项和公式的推导方法计算
的值为（ ）
A．
B. 
C.
D. 
12. 定义在
上的函数
满足
，当
时，单调递增，如果
，且
，则
的值为（ ）
A．恒小于
B. 恒大于
C.可能为 D.可正可负
第Ⅱ卷（共90分）
二. 填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
一.
二.
三.
四.
五.
六.
七.
八.
九.
十.
十一.
13. 设
且
，则
的范围是 .
14. 设
，则二项式
展开式中含
项的系数是 .
15. 设椭圆
的两个焦点分别为
，点
在椭圆上，且
，
，则该椭圆的离心率为
．
16. 给出下列四个命题中：
①命题“
”的否定是“
”；
②“
”是“直线
与直线
相互垂直”的必要不充分条件；
③设圆
与坐标轴有4个交点，分别为
，则
；
④关于
的不等式
的解集为，则
.
其中所有真命题的序号是
.
三. 解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分12分）
在
中，
的对边分别是
，且满足
.
（1）求
的大小；
（2）设m
，n
，且m?n的最大值是5，求
的值.
18. （本小题满分12分）
有编号为
的
个学生，入坐编号为的个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为
，已知
时，共有
种坐法．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求随机变量
的概率分布列和数学期望．
19. 
（本小题满分12分）
在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到
的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（III）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）
20. （本小题满分12分）
已知椭圆
，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=－4于点E，点Q分
所成比为λ，点E分所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.
21. （本小题满分12分）
已知函数
，且对于任意实数，恒有
。
（1）求函数
的解析式；
（2）已知函数
在区间
上单调，求实数的取值范围；
（3）函数
有几个零点？
22. （本小题满分14分）
已知数列
中，
，且
（1）求证：
；
（2）设
，是数列
的前项和，求的解析式；
（3）求证：不等式
对于
恒成立。
高三数学理科模拟试题答案及评分标准
三、解答题
17．（1）
，
，
即
……………………..3分
. 
.
…………………………………………………………….6分
（2）m?n=
，…..8分
设
则
.
则m?n=
……………………….10分
时，m?n取最大值.
依题意得，(m?n)
=
…………………………………12分
18．解：（Ⅰ）当
时，有
种坐法，
…………………………2分
，即
，
，
或
（舍去）． 
． ……………………4分
（Ⅱ）
的可能取值是
，
又
， 
，
，
，………………………8分
的概率分布列为：
P
…………………10分
则
．
……………………12分
19.不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .
(I)在图1中，取BE的中点D，连结DF.
∵AE
EB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=600,
∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD…………2分
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE.
又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP……….4分
(II)在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是平面A1BP的斜线.
又A1E⊥平面BEP, ∴A1E⊥BP,
从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）.
设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则
∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角，…………………6分
且BP⊥A1Q.
在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=600， ∴△EBP是等边三角形，∴BE=EP.
又A1E⊥平面BEP，∴A1B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ=
又A1E=1,在Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q=
,∴∠EA1Q=600.
所以直线A1E与平面A1BP所成的角为600…………………8分
(III)在图3中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM，QF.
∵CF=CP=1, ∠C=600. ∴△FCP是正三角形，∴PF=1.
又PQ=
BP=1，∴PF=PQ.
①
∵A1E⊥平面BEP，EQ=EF=， ∴A
从而∠A1PF=∠A1PQ. ②
由①②及MP为公共边知 △FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=900，且MF=MQ，
从而∠FMQ为二面角B-A1P-F的平面角……………10分
在Rt△A1QP中，A1Q=A
.
∵MQ⊥A1P, ∴MQ=
,∴MF=
.
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=600，由余弦定理得QF=.
在△FMQ中，cos∠FMQ=
所以二面角B-A1P-F的大小为
-arccos
……………..12分
20．解：（1）由条件得
，所以方程
………3分
（2）易知直线l斜率存在，令
由
…………………6分
由
得
…………………8分
由
得
…………………10分
将代入
有
……………12分
21.（1）由题设得
，
，则
，
所以
……………………………………………………2分
所以
对于任意实数
恒成立
.故
…………………………………………………………..3分
（2）由
，求导数得
，
在
上恒单调，只需
或
在上恒成立，即
或
恒成立，所以
或
在上恒成立…………………………………………………6分
记
，可知：
，
或
………………………………………………………………….8分
（3）令
，则
. 令
，则
，列表如下.
0
1
+
0
―
0
+
0
―
递增
极大值
递减
极小值1
递增
极大值
递减
时，无零点；
或
时，有两个零点；
时有三个零点；
时，有四个零点…………………………………………………………12分
22.（1）
，
………………………………….1分
又因为
，则
，即
，又
，
，…………………………………….4分
（2）
，
…….5分
因为
，所以
当
时，
当
时，
，①
，②
①-②：
，……………8分
.综上所述，
……………9分
（3）
，…………………………………..10分
又
，易验证当
时不等式成立；…………………………………11分
假设
，不等式成立，即
，两边乘以3得
又因为
所以
即
时不等式成立.故不等式恒成立……………………………………………..14分