Question

9．如图所示，MN，PQ为水平放置的光滑金属导轨，导轨两端PM，QN连线均垂直于MN，PM=$\frac{1}{2}$L，QN=L．MN=2L，两根粗细相同长度均为L的金属棒AB、CD，垂直于导轨MN水平放置，两金属棒电阻均为R，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，现金属棒AB、CD分别以速率v做相同的匀速运动，两金属棒在导轨上滑动时始终与导轨MN垂直，导轨电阻不计
（1）求两金属棒相遇前回路中感应电流的大小
（2）若两金属棒从开始运动到相遇的过程中回路的总电阻为$\frac{7}{4}$R，求此过程中回路产生焦耳热的最大值．

Answer 1

分析 （1）两棒相向运动，产生的感应电动势叠加，由E=BLv求出两个棒产生的感应电动势，得到回路的总电动势，再由闭合电路欧姆定律求解电流．
（2）两棒相向运动，相遇前回路总电阻是恒定的；要使回路中产生最大的焦耳热，两金棒初始距离应最大，两棒开始运动前相距为 L．根据焦耳定律求解．

解答 解：（1）两棒相向运动，相遇前某时刻金属棒AB接入电路的长度为L₁，金属棒CD接入电路的长度为L₂，则有回路中的总感应电动势为：
E=BL₁v+BL₂v
回路中感应电流的大小为：
I=$\frac{E}{R\frac{{L}_{1}}{L}+R\frac{{L}_{2}}{L}}$                   
解得：I=$\frac{BLv}{R}$             
（2）两棒相向运动，相遇前回路总电阻是恒定的；要使回路中产生最大的焦耳热，两金棒初始距离应最大．此时，CD棒在轨道最右端（接入电阻R），AB棒在轨道正中间（接入电阻为$\frac{3}{4}$R），所以两棒开始运动前相距为L，两金属棒从开始运动到相遇的时间为：t=$\frac{L}{2v}$
此过程中回路产生焦耳热的最大值为：Q=I²R_总t
解得：Q=$\frac{7{B}^{2}{L}^{3}v}{8R}$
答：（1）两金属棒相遇前回路中感应电流的大小为$\frac{BLv}{R}$．
（2）此过程中回路产生焦耳热的最大值为$\frac{7{B}^{2}{L}^{3}v}{8R}$．

点评 本题是明确当两棒相向运动时感应电动势串联，得到回路中电流恒定，运用焦耳定律求解热量．