题目内容

20．如图所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ=37°的绝缘斜面上，顶部接有一阻值R=1Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L=1m．整个装置处于磁感应强度B=4T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．质量m=2kg的金属棒ab置于导轨上，ab在导轨之间的电阻r=1Ω，电路中其余电阻不计．金属棒ab由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨且与导轨接触良好．已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数μ=0.5，不计空气阻力影响．sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2．求：
（1）金属棒ab沿导轨向下运动的最大加速度am和最大速度vm；
（2）金属棒ab沿导轨向下运动过程中，电阻R上的最大电功率PR；
（3）若从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中回路中产生的焦耳热总共为3.75J，求流过电阻R的总电荷量q．

分析 （1）当安培力为零时，加速度最大，根据牛顿第二定律求解最大加速度；当加速度为零时速度最大，根据平衡条件求解最大速度；
（2）金属棒速度最大时感应电流最大，电阻R上电功率最大；据闭合电路的欧姆定律和电功率的计算公式求解；
（3）根据能量守恒定律求解位移，根据电荷量的计算公式求解电荷量．

解答 解：（1）金属棒由静止释放后，在重力、支持力、摩擦力和安培力作用下做变加速运动，当安培力为零时，加速度最大，根据牛顿第二定律可得：
mgsinθ-μmgcosθ=mam，
代入数据解得：am=2m/s2；
当加速度为零时速度最大，此时金属棒受力平衡，根据平衡条件可得：
mgsinθ-μmgcosθ=FA，
而安培力为：FA=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$，
联立解得：vm=0.5m/s；
（2）金属棒速度最大时感应电流最大，电阻R上电功率最大；根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流为：
I=$\frac{BL{v}_{m}}{r+R}$，
根据电功率的计算公式可得：PR=I2R，
联立解得：PR=1W；
（3）设金属棒从开始到速度最大过程中的位移为x，根据能量守恒定律可得：
（mgsinθ-μmgcosθ）x=$\frac{1}{2}$mvm2+Q，
根据电荷量的计算公式可得：q=$\overline{I}t$=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BLx}{R+r}$，
联立解得：q=2C．
答：（1）金属棒ab沿导轨向下运动的最大加速度为2m/s2；最大速度为0.5m/s；
（2）金属棒ab沿导轨向下运动过程中，电阻R上的最大电功率为1W；
（3）若从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中回路中产生的焦耳热总共为3.75J，则流过电阻R的总电荷量为2C．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．

练习册系列答案
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3．如图所示，倾角θ=30°的粗糙斜面固定在地面上，长为L、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平．用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面（此时物块未到达地面），在此过程中（　　）
A．物块的机械能逐渐增加
B．软绳重力势能共减少了$\frac{1}{4}$mgl
C．物块重力势能的减少等于软绳克服摩擦力所做的功与物块动能增加之和
D．软绳重力势能的减少小于软绳动能的增加与软绳克服摩擦力所做的功之和
4．一只小船渡河，水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边．小船相对于水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，其运动轨迹如图所示．小船相对于水的初速度大小均相同，且方向垂直于河岸，小船在渡河过程中船头方向始终不变．由此可知（　　）
A．小船沿三条不同轨迹渡河的时间相同
B．沿AB轨迹渡河所用时间最短
C．由于水有速度，所以沿AC和AD轨迹小船都不是做匀变速运动
D．AD是匀减速运动的轨迹
8．两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻．将质量为m的金
属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好．导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图所示．除电阻R外其余电阻不计．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则（　　）
A．释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g
B．金属棒经过导轨上的相同一段位移时，安培力做功相等
C．金属棒的速度为v时，所受的安培力大小为F安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
D．电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少
15．一个长方形的金属线框放在有界的匀强磁场中，磁场方向与线框所在平面垂直，如图所示，线框在水平恒力F作用下，由静止开始向左运动，一直到被拉出磁场．在此过程中，若线框的速度逐渐增大，线框中的感应电流的大小随时间变化的图象可能是下列图中的（　　）
A．B．C．D．
5．在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一与磁场方向垂直、长度为L金属杆aO，已知ab=bO=$\frac{L}{2}$，a、b与磁场中以O为圆心的同心圆（都为部分圆弧）金属轨道始终接触良好．一电容为C的电容器接在轨道上，如图所示，当金属杆在与磁场垂直的平面内以O为轴，以角速度ω顺时针匀速转动时（　　）
A．Uao=2Ubo
B．Uab=$\frac{1}{8}$BL2ω
C．电容器带电量Q=$\frac{3}{8}$CBL2ω
D．若在eO间连接一个电压表，则电压表示数为零
12．如图所示，相距为d的两条水平虚线之间是方向水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B，正方形线圈abcd边长为L（L＜d），质量为m、电阻为R，现将线圈在磁场上方h高处由静止释放，cd边刚进入磁场时速度为v0，cd边刚离开磁场时速度也为v0，则线圈穿过磁场的过程中（从cd边刚进入磁场起一直到ab边离开磁场为止），下列说法正确的是（　　）
A．感应电流所做的功为mgd
B．感应电流所做的功为mg（d-L）
C．当线圈的ab边刚进入磁场时速度最小
D．线圈的最小速度可能为$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
9．如图所示，abcd为水平放置的平行“”形光滑金属导轨，间距为l，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨电阻不计．已知金属杆MN倾斜放置，与导轨成θ角，单位长度的电阻为r，保持金属杆以速度v沿垂直于MN的方向滑动（金属杆滑动过程中与导轨接触良好）．则（　　）
A．电路中感应电动势的大小为$\frac{Blv}{sinθ}$
B．电路中感应电流的大小为$\frac{Bvsinθ}{r}$
C．金属杆所受安培力的大小为$\frac{{B}^{2}lvsinθ}{r}$
D．金属杆的热功率为$\frac{{B}^{2}l{v}^{2}}{rsinθ}$
10．在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻弹簧连接的物块A和B，它们的质量分别为m和3m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板，系统处于静止状态，现用一沿斜面方向的恒力拉物块A使之沿斜面向上运动，当B刚离开C时，A的速度为v，加速度方向沿斜面向上，大小为a，则（　　）
A．物块B从静止到刚离开C的过程中，A发生的位移为$\frac{4mgsinθ}{k}$
B．物块B从静止到刚离开c的过程中，重力对A做的功为$-\frac{4{m}^{2}{g}^{2}sinθ}{k}$
C．物块B刚离开C时，恒力对A做功的功率为（4mgsinθ+ma）v
D．物块B刚离开C时，弹簧弹性势能的增加量为${E}_{P}=\frac{4mgsinθ}{k}（3mgsinθ+ma）-\frac{1}{2}m{v}^{2}$

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