Question

3．如图所示，固定的光滑金属导轨间距为L=1m，导轨电阻不计，上端a、b间接有阻值为R=1.5Ω的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ=30°，且处在磁感应强度大小为B=1T、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．质量为m=0.4kg、电阻为r=0.5Ω的导体棒与固定弹簧相连后放在导轨上．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有沿轨道向上的初速度v₀=1m/s．整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．已知弹簧的劲度系数为k=10N/m，弹簧的中心轴线与导轨平行．
（1）求初始时刻通过电阻R的电流I的大小和方向；
（2）当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为v=0.8m/s，求此时导体棒的加速度大小a；
（3）导体棒最终静止时弹簧的弹性势能为E_p=0.2J，求导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）根据切割产生的感应电动势公式求出初始时刻的电动势，结合闭合电路欧姆定律求出电流的大小，根据右手定则得出感应电流的方向．
（2）根据切割产生的感应电动势公式、安培力公式和欧姆定律得出速度为v时的安培力，结合牛顿第二定律求出导体棒的加速度．
（3）导体棒最终静止时处于压缩状态，根据胡克定律以及平衡求出压缩量，结合能量守恒求出整个回路产生的热量，从而得出电阻R上产生的热量．

解答 解：（1）初始时刻，棒产生的感应电动势为：E₁=BLv₀=1×1×1V=1V，
则通过电阻的电流为：${I}_{1}=\frac{E}{R+r}=\frac{1}{1.5+0.5}A=0.5A$，根据右手定则知，通过电阻R的电流方向由b到a．
（2）第一次回到初始位置所受的安培力为：${F}_{A}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
根据牛顿第二定律得加速度为：a=$\frac{mgsinθ-{F}_{A}}{m}=gsinθ-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=10×0.5-$\frac{1×1×0.8}{0.4×2}$=4m/s²．
（3）导体棒最终静止时有：mgsinθ=kx，
解得压缩量为：x=$\frac{mgsinθ}{k}$，
设整个过程回路产生的焦耳热为Q，根据能量守恒有：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mgxsinθ={E}_{p}+{Q}_{总}$，
则${Q}_{总}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{（mgsinθ）^{2}}{k}-{E}_{p}$，
电阻R上产生的热量为：Q=$\frac{R}{R+r}{Q}_{总}$，
代入数据解得：Q=0.3J．
答：（1）初始时刻通过电阻R的电流的大小为0.5A，通过电阻R的电流方向由b到a．
（2）此时导体棒的加速度大小为4m/s²；
（3）导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R上产生的焦耳热为0.3J．

点评 解决本题的关键会根据牛顿第二定律求加速度，以及结合运动学能够分析出金属棒的运动情况，注意动能定理求出的热量，并不是金属棒的热量，而是金属棒与内阻共有的．