Question

17．如图甲所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平桌面边缘．轻绳跨过位于斜面顶端的轻滑轮连接A、B两个小滑块，斜面上方轻绳与斜面保持平行，竖直悬挂的滑块离地面足够高，滑轮与转轴之间的摩擦不计．第一次A悬空，B放在斜面上，B自斜面底端由静止开始运 动至斜面顶端时，A和B组成系统的总动能为E_k；第二次，将A和B位置互换，使B悬空，A放在斜面上，发现A自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端时，A和B组成系统的总动能为4E_k（重力加速度g已知）．
（1）求两小滑块的质量之比；
（2）若将光滑斜面换成一个半径为R的半圆形光滑轨道，固定在水平桌面上，将这两个小物块用轻绳连接后，如图放置．将B从轨道边缘由静止释放，不计一切摩擦，求：B沿半圆形光滑轨道滑到底端时，A、B的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒，列式可求两两物体的质量之比；
（2）根据机械能守恒，结合速度的合成与分解即可求出．

解答 解：（1）设斜面的长度为l，A与B的质量分别为m₁和m₂，两次运动的过程中二者组成的系统的机械能守恒，则：
m₁gl-m₂glsin30°=E_k…①
m₂gl-m₁glsin30°=4E_k…②
联立可得：m₁：m₂=2：3…③
（2）在乙图中，设B到达最低点的速度为v₂，A的速度为v₁，则B的速度可以分解为沿绳子方向的分速度与垂直于绳子方向的分速度，如图：

由几何关系可得：${v}_{1}={v}_{2}cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{2}$…④
下降的过程中B下降的距离为R，而A上升的距离为$\sqrt{2}$R，由机械能守恒得：
${m}_{2}gR-{m}_{1}g•\sqrt{2}R=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$…⑤
联立③④⑤解得：${v}_{1}=\sqrt{3-2\sqrt{2}}•\frac{\sqrt{gR}}{2}$，${v}_{2}=\sqrt{3-2\sqrt{2}}•\sqrt{\frac{gR}{2}}$
答：（1）两小滑块的质量之比为2：3；
（2）B沿半圆形光滑轨道滑到底端时，A、B的速度大小分别为$\sqrt{3-2\sqrt{2}}•\frac{\sqrt{gR}}{2}$和$\sqrt{3-2\sqrt{2}}•\sqrt{\frac{gR}{2}}$．

点评 该题考查机械能守恒，解得该题的关键是理解在乙图中A与B的速度大小是不相等的．