Question

15．如图所示，内壁光滑的圆柱形导热气缸固定在水平面上，气缸内被活塞封有一定质量的理想气体，活塞横截面积为S，质量和厚度都不计，活塞通过弹簧与气缸底部连接在一起，弹簧处于原长，已知周围环境温度为T₀，大气压强恒为p₀，弹簧的劲度系数k=$\frac{{p}_{0}S}{{l}_{0}}$（S为活塞横截面积），原长为l₀，一段时间后，环境温度降低，在活塞上施加一水平向右的压力，使活塞缓慢向右移动，当压力增大到某一值时保持恒定，此时活塞向右移动了0.2l₀，缸内气体压强为1.1p₀．
（1）求此时缸内气体的温度T₁；
（2）对气缸加热，使气体温度缓慢升高，当活塞移动到距气缸底部1.2l₀时，求此时缸内气体的温度T₂．

Answer 1

分析 （1）根据理想气体状态方程求缸内气体的温度
（2）根据理想气体状态方程和对活塞受力平衡联立求解

解答 解：（1）汽缸内的气体，初态时：压强为${p}_{0}^{\;}$，体积为${V}_{0}^{\;}=S{l}_{0}^{\;}$，温度为${T}_{0}^{\;}$
末态时：压强为${p}_{1}^{\;}=1.1{p}_{0}^{\;}$，体积为${V}_{1}^{\;}=S（l-0.2{l}_{0}^{\;}）$
由理想气体状态方程得：
$\frac{{p}_{0}^{\;}{V}_{0}^{\;}}{{T}_{0}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}$
解得：${T}_{1}^{\;}=0.88{T}_{0}^{\;}$
（2）当活塞移动到距气缸底部$1.2{l}_{0}^{\;}$时，体积为${V}_{2}^{\;}=1.2S{l}_{0}^{\;}$，设气体压强为${p}_{2}^{\;}$，
由理想气体状态方程得：
$\frac{{p}_{0}^{\;}{V}_{0}^{\;}}{{T}_{0}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
此时活塞受力平衡方程为：
${p}_{0}^{\;}S+F-{p}_{2}^{\;}S+k（1.2{l}_{0}^{\;}-{l}_{0}^{\;}）=0$
当活塞向右移动$0.2{l}_{0}^{\;}$后压力F保持恒定，活塞受力平衡
${p}_{0}^{\;}S+F-1.1{p}_{0}^{\;}S-k（0，2{l}_{0}^{\;}）=0$
解得：${T}_{2}^{\;}=1.8{T}_{0}^{\;}$
答：（1）求此时缸内气体的温度${T}_{1}^{\;}$为$0.88{T}_{0}^{\;}$；
（2）对气缸加热，使气体温度缓慢升高，当活塞移动到距气缸底部1.2l₀时，求此时缸内气体的温度${T}_{2}^{\;}$为$1.8{T}_{0}^{\;}$．

点评 本题考查了理想气体状态方程的应用，根据平衡条件求出气体的压强是正确解题的关键，根据题意求出气体的初末状态参量，应用理想气体状态方程即可正确解题．