Question

3．有两颗人造卫星，都绕地球做匀速圆周运行，已知它们的轨道半径之比r₁：r₂=9：4．对于这两颗卫星的运动，求：
（1）线速度之比；
（2）周期之比；
（3）向心加速度之比．

Answer 1

分析 （1）人造卫星绕地球做匀速圆周运行所需的向心力来源于万有引力，根据牛顿第二定律列式可得线速度与半径的关系．
（2）由T=$\frac{2πr}{v}$可得周期之比；
（3）由a=$\frac{{v}^{2}}{r}$可得向心加速度之比．

解答 解：（1）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可得：
$G\frac{Mm}{r}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，解得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
轨道半径之比r₁：r₂=9：4，所以线速度之比：v₁：v₂=2：3；
（2）由T=$\frac{2πr}{v}$知，周期之比T₁：T₂=$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}•\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$=$\frac{9}{4}×\frac{3}{2}$=27：8；
（3）由a=$\frac{{v}^{2}}{r}$知，向心加速度之比a₁：a₂=$\frac{{v}_{1}^{2}}{{v}_{2}^{2}}•\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}$=$\frac{4}{9}×\frac{4}{9}$=16：81．
答：（1）线速度之比为2：3；
（2）周期之比为27：8；
（3）向心加速度之比为16：81．

点评 解题的关键是要知道天体的运动所需的向心力完全来源于万有引力，根据牛顿第二定律和向心力公式求解．