已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴、y轴上运动，且|AB|=8，动点P满足，设点P的轨迹为曲线C，定点M（4，0），直线PM交曲线C于另外一点Q。
（1）求曲线C的方程；
（2）求△OPQ面积的最大值。

设椭圆（a>b>0）的左焦点为F₁（-2，0），左准线与x轴交于点N（-3，0），过点N倾斜角为30°的直线交椭圆于A，B两点。
（1）求直线和椭圆的方程；
（2）求证：点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上。

如图所示，已知圆C：，顶点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N轨迹为曲线E。

已知椭圆C：的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A，B。
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围。

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，且过点A（2，0），
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线过点A且与椭圆的另一交点为B，若|AB|=，求直线的倾斜角。

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线x²=-4y的焦点是椭圆M的一个焦点，又点A（1，）在椭圆M上。
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知直线的斜率为，若直线与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值。

已知动点A，B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且（t是不为零的常数）。设点P的轨迹为曲线C。
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若t=2，点M，N是C上关于原点对称的两个动点（M，N不在坐标轴上），点Q（，3），求△QMN的面积S的最大值。

设椭圆C₁：=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：y=x²-1与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值。

已知椭圆C：，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形。
（1）求椭圆的方程；
（2）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，，，求证λ+μ为定值。

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.